Purement inséparable (extension)

Dans un corps de caractéristique 2, élever une somme au carré fait disparaître le terme croisé : le calcul ne garde que les carrés. Imaginons alors un corps contenant un symbole s, puis ajoutons un élément u dont le carré vaut s. L'élément u ne fournit pas deux racines distinctes : le polynôme qui l'introduit possède une racine double.

Une extension est purement inséparable lorsque ce phénomène concerne chacun de ses éléments : après une puissance convenable de la caractéristique, l'élément retombe dans le corps de départ.

Soit K un corps et L une extension algébrique de K. Si K est de caractéristique positive p, l'extension L/K est purement inséparable lorsque, pour tout élément α de L, il existe un entier n supérieur ou égal à zéro tel que ${\alpha }^{p^n}\in K\backslash alpha^\{p^n\}\; \backslash in\; K$. Pour le plus petit entier n qui convient, le polynôme minimal de α sur K prend la forme $X^{p^n}-aX^\{p^n\}-a$, où a est l'élément ${\alpha }^{p^n}\backslash alpha^\{p^n\}$ de K. Ce polynôme n'a qu'une racine distincte dans un corps de décomposition, avec multiplicité $p^{n}p^n$.

Cette propriété est aussi qualifiée de radicielle. En caractéristique zéro, elle force chaque élément de L à appartenir déjà à K : l'extension est donc triviale. Pour une extension algébrique L/K en caractéristique p, les éléments séparables sur K forment un corps intermédiaire S ; l'extension S/K est séparable et L/S est purement inséparable. Cette décomposition précise en quel sens les deux comportements se complètent, sans faire de « séparable » et « purement inséparable » deux négations logiques dans tous les contextes.

Prenons le corps K des fractions rationnelles à coefficients dans le corps à deux éléments, avec une indéterminée s. On note $K={\mathbb{F}}_2(s)K=\backslash mathbb\{F\}\_2(s)$. Formons L en ajoutant un élément u vérifiant u² = s. Les données sont donc : la caractéristique p = 2, le corps K, l'élément s transcendant sur le corps à deux éléments et la relation u² = s.

1. Le polynôme X² − s n'a pas de racine dans K, donc il est le polynôme minimal de u sur K.
2. En caractéristique 2, sa dérivée est nulle et $X^2-s=(X-u{)}^{2}X^2-s=(X-u)^2$ dans L : u est son unique racine distincte.
3. Tout élément de L s'écrit a + bu avec a et b dans K. Son carré vérifie :

Chaque élément de L a donc son carré dans K : L/K est purement inséparable, de degré 2. Le contrôle consiste à reprendre un élément a + bu quelconque et à vérifier que le terme croisé 2abu est nul. La construction met ainsi en regard l'adjonction de u, son polynôme minimal et le retour dans K par le carré.

Pour tester une extension algébrique en caractéristique p, on vérifie que chaque élément d'une famille de générateurs est ramené dans le corps de départ par une puissance pⁿ. Dans le cas d'une extension simple L = K(α), il suffit donc d'effectuer ce contrôle sur α. Si aucune puissance ne convient pour l'un des générateurs, l'extension n'est pas purement inséparable.

Le polynôme minimal donne un autre test. Une dérivée nulle signale que tous ses exposants sont multiples de p ; il faut encore vérifier qu'il possède une seule racine distincte. Une dérivée non nulle oriente au contraire vers la partie séparable.

Lorsqu'une extension mélange les deux comportements, on isole d'abord les éléments séparables sur le corps de base. Ils forment le corps intermédiaire à partir duquel la partie restante devient purement inséparable.

Extension séparable. Chaque polynôme minimal y a des racines distinctes dans un corps de décomposition. Dans l'exemple, X² − s = (X − u)² n'a qu'une racine distincte : l'extension n'est donc pas séparable.

Extension normale. La normalité demande que tout polynôme irréductible ayant une racine dans L s'y décompose complètement. Une extension purement inséparable finie satisfait cette condition, mais le critère reste différent : il porte ici sur l'unicité de la racine distincte.

Extension transcendante. Une extension purement inséparable est algébrique : chacun de ses éléments vérifie un polynôme sur K. Adjoindre une indéterminée libre ne convient pas, car aucune de ses puissances pⁿ ne retombe dans K.

Caractéristique zéro. Le cas charnière est p = 0 : il n'existe alors aucune puissance positive de la caractéristique à utiliser. Une extension algébrique purement inséparable ne peut être que L = K.

Exposant variable. La définition demande, pour chaque élément α, l'existence d'un entier n adapté à α. Elle n'impose pas toujours un même n pour toute une extension infinie. Il faut donc éviter d'annoncer un exposant global sans hypothèse de finitude.

Dérivée nulle. Ce symptôme ne suffit pas, pris isolément, à qualifier toute l'extension. Le test porte sur les polynômes minimaux de tous les éléments, ou sur des générateurs lorsque leur contrôle permet de conclure.

Extension triviale. Le choix n = 0 autorise α^p⁰ = α. Ainsi K/K est à la fois séparable et purement inséparable ; cela montre que les deux adjectifs ne sont pas des contraires exclusifs.

La fiche Séparable (extension) donne le critère complémentaire fondé sur les racines distinctes des polynômes minimaux.

La fiche Radicielle (extension) approfondit l'autre nom employé pour le comportement purement inséparable.

La fiche Polynôme minimal précise l'outil qui encode la relation algébrique la plus courte d'un élément sur le corps de base.