AlgèbreNotion · Glossaire
Radicielle (extension)
Une extension de corps L/K est dite radicielle si elle est algébrique et purement inséparable, ce qui signifie que tout élément de L est racine d'un polynôme de la forme X à la puissance (p^n) moins a, avec a dans K et p la caractéristique du corps. En caractéristique zéro, les seules extensions radicielles sont les extensions triviales. Ces extensions jouent un rôle dans la théorie de Galois en caractéristique positive et dans la classification des extensions algébriques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Énoncer le critère x^(p^n) dans K avec toutes les notations introduites.
- Vérifier sur 𝔽₂(t,u)/𝔽₂(t) que le carré de chaque élément revient dans le corps de base.
- Distinguer le sens purement inséparable d'une extension engendrée par des radicaux.
- Identifier la caractéristique zéro et la variabilité de l'exposant comme cas de vigilance.
En clair
En caractéristique 2, élever une somme au carré fait disparaître les termes croisés. Ainsi, si un élément u vérifie u2 = t, le carré de a + bu vaut a2 + b2t : le résultat retombe dans le corps de départ dès que a et b y appartiennent.
Une extension radicielle généralise ce phénomène. Chaque nouvel élément finit par revenir dans le corps initial lorsqu'on l'élève à une puissance de la caractéristique. L'extension peut donc ajouter des racines, mais celles-ci restent entièrement contrôlées par cette opération.
Définition
Soit K un corps et L un corps qui contient K. L'extension L/K est radicielle, au sens retenu ici, lorsqu'elle est algébrique et purement inséparable. Dire qu'elle est algébrique signifie que chaque élément de L annule un polynôme non nul à coefficients dans K.
Lorsque K est de caractéristique première p, la condition décisive est la suivante : pour chaque élément x de L, il existe un entier n supérieur ou égal à zéro tel que . Autrement dit, x est racine d'un polynôme , où a appartient à K. L'entier n peut dépendre de x. Le choix n = 0 couvre les éléments déjà situés dans K.
En caractéristique zéro, cette condition ne produit aucune extension non triviale : une extension radicielle est alors réduite à L = K. En caractéristique positive, elle isole au contraire la composante purement inséparable d'une extension algébrique et intervient ainsi dans sa classification.
Un exemple, pas à pas
Prenons le corps K des fractions rationnelles en une indéterminée t, à coefficients dans le corps à deux éléments. On le note K = 𝔽2(t). L'élément t n'est pas un carré dans K. Ajoutons un élément u soumis à u2 = t, et notons L = K(u). L'élément u n'appartient donc pas à K.
Données.
La caractéristique vaut p = 2.
L'élément t appartient à K.
L'élément u appartient à L et vérifie u2 = t.
Tout élément x de L s'écrit a + bu, avec a et b dans K. La figure matérialise ce retour du carré dans K pour un élément quelconque de L.
La caractéristique vaut p = 2.
L'élément t appartient à K.
L'élément u appartient à L et vérifie u2 = t.
Tout élément x de L s'écrit a + bu, avec a et b dans K. La figure matérialise ce retour du carré dans K pour un élément quelconque de L.
Calcul.
1. On choisit x = a + bu.
2. On élève x au carré.
3. En caractéristique 2, le terme 2abu est nul.
4. On remplace u2 par t : .
1. On choisit x = a + bu.
2. On élève x au carré.
3. En caractéristique 2, le terme 2abu est nul.
4. On remplace u2 par t : .
Chaque x de L vérifie donc x2 ∈ K : l'exposant n = 1 suffit pour toute cette extension. Le contrôle se refait directement sur u : u2 = t appartient bien à K. Ainsi L/K est une extension radicielle non triviale de caractéristique 2.
En pratique
Pour tester un élément x d'une extension en caractéristique p, on calcule successivement xp, xp², puis les puissances suivantes. Si l'une d'elles appartient au corps de base, x satisfait le critère radiciel. Sinon, ce test ne permet pas de le classer comme purement inséparable.
Pour classer une extension algébrique, on examine les polynômes minimaux de ses éléments. Une forme signale la partie purement inséparable. Lorsque les polynômes minimaux ont des racines distinctes, la notion d'extension séparable est l'alternative adaptée.
Avant tout calcul, on vérifie la caractéristique du corps de base. En caractéristique zéro, le diagnostic s'arrête immédiatement : seule l'extension L = K peut être radicielle au sens de cette fiche.
À ne pas confondre
Extension séparable. Ses éléments ont des polynômes minimaux sans racine multiple dans une clôture algébrique. Une extension radicielle non triviale est au contraire purement inséparable. Dans l'exemple, X2 − t a une dérivée nulle en caractéristique 2 : le cas est radiciel, pas séparable.
Extension engendrée par des radicaux. Le vocabulaire est voisin, mais le critère n'est pas celui de cette fiche. Par exemple, ℚ(√2)/ℚ est obtenue en ajoutant une racine carrée ; elle n'est pourtant pas radicielle au sens purement inséparable, puisque sa caractéristique est zéro et qu'elle n'est pas triviale.
Limites et pièges
La caractéristique positive ne suffit pas. Le seul fait que p soit non nul ne rend pas une extension radicielle. Il faut vérifier, pour chaque élément x, qu'une puissance xpⁿ revient effectivement dans K.
L'exposant n n'est pas forcément uniforme. La définition autorise un entier différent pour chaque élément. On ne doit donc pas annoncer un exposant commun sans preuve supplémentaire. Dans l'exemple de degré 2, n = 1 convient à tous les éléments parce que le calcul l'établit.
Le cas n = 0 n'ajoute rien. Il donne xp⁰ = x ∈ K et explique pourquoi l'extension triviale K/K satisfait toujours le critère. En caractéristique zéro, ce cas trivial est le seul admis par la définition source.
Pour aller plus loin
La fiche Purement inséparable (extension) approfondit la propriété qui caractérise ici une extension radicielle en caractéristique positive.
La fiche Séparable (extension) présente l'autre comportement fondamental des extensions algébriques, fondé sur l'absence de racines multiples.
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