GéométrieNotion · Glossaire
Étale
Un morphisme de schémas est dit étale s'il est localement de présentation finie, plat et non ramifié. En géométrie algébrique, les morphismes étales sont les analogues algébriques des revêtements locaux en topologie. Ils jouent un rôle fondamental dans la topologie étale et la cohomologie étale, développées par Grothendieck pour generaliser les méthodes topologiques aux variétés sur des corps arbitraires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois conditions d'un morphisme étale.
- Vérifier l'étaleness de l'application t ↦ t² sur ℂ× par sa dérivée.
- Expliquer pourquoi ce même test échoue en caractéristique 2.
- Distinguer étale, lisse, non ramifié et immersion ouverte.
En clair
Imaginez une petite zone d'une figure algébrique transportée vers une autre sans pli, écrasement ni direction infinitésimale perdue. Autour de chaque point, un morphisme étale se comporte comme un changement local de coordonnées.
Plusieurs zones distinctes peuvent pourtant arriver sur la même zone d'arrivée, comme les feuilles d'un revêtement topologique. Le mot « local » est donc essentiel : le morphisme préserve la structure au voisinage d'un point sans être forcément un isomorphisme global.
Définition
Un morphisme entre deux schémas est étale lorsqu'il réunit trois conditions locales. Il est localement de présentation finie : près de chaque point, un nombre fini de générateurs et de relations décrit le morphisme. Il est plat : le changement de base ne crée pas de rupture algébrique dans les relations. Il est non ramifié : aucune direction infinitésimale relative ne subsiste.
Pour un morphisme localement de présentation finie, la condition non ramifiée peut se vérifier par l'annulation du module des différentielles relatives. Dans une présentation par une équation, l'inversibilité de la dérivée par rapport à la variable ajoutée fournit un critère concret. Les trois conditions sont nécessaires : la seule absence de ramification ne garantit pas la platitude.
L'analogie avec un revêtement local explique l'usage du mot, mais elle ne constitue pas la définition. Les morphismes étales donnent les voisinages et les recouvrements de la topologie étale, cadre dans lequel se construit la cohomologie étale.
Un exemple, pas à pas
Considérons le corps des nombres complexes, noté ℂ, et le tore multiplicatif ℂ×, c'est-à-dire les nombres complexes non nuls. Le morphisme étudié envoie un nombre t sur son carré. Les données sont donc : le corps ℂ, la source ℂ×, la cible ℂ× et l'exposant 2.
1. Le morphisme est donné par . Sur les anneaux de coordonnées, la variable u de la cible est remplacée par t². Le module obtenu est libre de base 1 et t ; le morphisme est donc fini et plat.
2. La relation qui définit t au-dessus de u est . Sa dérivée par rapport à t vaut 2t.
3. Sur ℂ×, le nombre t n'est jamais nul et 2 possède un inverse. Le produit 2t est donc inversible. Le critère de la dérivée montre que ce morphisme est étale.
Le contrôle se refait au-dessus de u = 1 : les deux antécédents sont t = 1 et t = −1, et la dérivée vaut respectivement 2 et −2, deux nombres non nuls. La figure schématise ces deux voisinages locaux distincts envoyés vers le même voisinage de la cible.
En pratique
Pour vérifier qu'une application algébrique est localement sans ramification, on cherche une présentation par équations puis une dérivée, ou une matrice jacobienne, inversible. Si des directions infinitésimales restent dans les fibres, un morphisme lisse de dimension positive est le cadre adapté plutôt qu'un morphisme étale.
Pour construire des voisinages en géométrie algébrique, on autorise des morphismes étales qui possèdent plusieurs feuilles locales. Une simple immersion ouverte suffit seulement lorsque le voisinage recherché doit rester une partie de la même structure globale.
Pour transporter des méthodes topologiques vers des variétés sur des corps arbitraires, les recouvrements étales remplacent les ouverts usuels. Ce choix mène à la topologie étale puis à la cohomologie étale.
À ne pas confondre
Morphisme lisse. Un morphisme étale est lisse de dimension relative nulle. Une famille dont les fibres contiennent des courbes peut être lisse, mais elle n'est pas étale : ses fibres ont une dimension positive.
Morphisme non ramifié. L'annulation des différentielles relatives teste l'absence de directions infinitésimales, mais l'étaleness exige aussi la platitude et une présentation finie locale. Un morphisme non ramifié qui n'est pas plat ne franchit donc pas le critère étale.
Immersion ouverte. Toute immersion ouverte est étale, mais la réciproque est fausse. L'application t ↦ t² sur ℂ× est étale et possède deux antécédents au-dessus de 1 ; elle n'identifie donc pas sa source à un ouvert de la cible.
Limites et pièges
La caractéristique peut changer le verdict. Sur un corps de caractéristique 2, la dérivée de t² − u vaut 2t = 0. Le morphisme de l'exemple n'est alors pas étale ; il faut vérifier que l'exposant est inversible dans le corps de base.
Local ne signifie pas global. Un morphisme peut ressembler à un isomorphisme dans chaque voisinage étale tout en ayant plusieurs points au-dessus d'un même point. Il faut examiner les fibres avant de conclure à l'injectivité ou à l'existence d'un inverse global.
Étale ne signifie pas automatiquement fini. La définition impose une présentation finie seulement localement. Pour obtenir un revêtement étale fini, il faut vérifier séparément que le morphisme est fini.
L'analogie topologique a ses limites. Elle éclaire les feuilles locales, mais les schémas portent aussi une information arithmétique. Le test algébrique de platitude et de non-ramification reste décisif.
Pour aller plus loin
La fiche schéma - géométrie algébrique - précise la nature des objets entre lesquels sont définis les morphismes étales.
La fiche cohomologie présente l'outil auquel la topologie étale fournit un cadre algébrique.
L'article Alexandre Grothendieck, mathématicien de l'extrême situe le mathématicien associé dans la source au développement de ces méthodes.
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