norme d'algèbre

Prenons les nombres −2 et 3. Leur taille, mesurée par la valeur absolue, vaut 2 et 3. Leur produit vaut −6, de taille 6 : les tailles se multiplient donc exactement, puisque 2 × 3 = 6.

Une norme d'algèbre mesure ainsi des éléments que l'on peut additionner, multiplier et agrandir par un scalaire. Elle possède les règles d'une norme vectorielle et contrôle en plus la multiplication. Dans la convention forte de la source, la taille du produit est exactement le produit des tailles.

Soit M une algèbre sur un corps K muni d'une valeur absolue. Une norme associe à chaque élément A de M un nombre réel non négatif, noté ‖A‖. Le symbole 0_M désigne le neutre de l'addition dans M, tandis que k désigne un scalaire de K. Pour tous éléments A et B de M, les quatre conditions retenues par la source sont :

Les trois premières lignes définissent une norme sur l'espace vectoriel sous-jacent : séparation du zéro, inégalité triangulaire et homogénéité. La dernière relie cette mesure au produit de l'algèbre. La source adopte ici l'égalité multiplicative, une condition forte. Dans l'usage courant, une norme d'algèbre est souvent seulement sous-multiplicative : $\parallel AB\parallel \le \parallel A\parallel \parallel B\parallel \backslash lVert\; AB\backslash rVert\backslash le\backslash lVert\; A\backslash rVert\backslash ,\backslash lVert\; B\backslash rVert$. Il faut donc vérifier la convention du texte étudié avant d'exiger une égalité.

Considérons l'algèbre M = ℝ sur le corps K = ℝ, munie de la norme ‖x‖ = |x|. Les données sont A = −2, B = 3 et le scalaire k = −4. Vérifions sur ces valeurs les règles de la source.

1. Les normes de A et de B valent ‖A‖ = 2 et ‖B‖ = 3. Seul le nombre 0 a une norme nulle.

2. Pour l'addition, A + B = 1. Ainsi, ‖A + B‖ = 1, tandis que ‖A‖ + ‖B‖ = 5 : l'inégalité 1 ≤ 5 est bien vérifiée.

3. Pour le scalaire, kA = (−4)(−2) = 8. On obtient ‖kA‖ = 8 et |k| ‖A‖ = 4 × 2 = 8.

4. Pour le produit, AB = (−2) × 3 = −6. Donc ‖AB‖ = 6 et ‖A‖ ‖B‖ = 2 × 3 = 6. Une construction rectangulaire de deux rangées et trois colonnes rend visible ce produit de tailles.

5. Un contrôle indépendant consiste à reprendre la valeur absolue : |AB| = |−6| = 6 et |A||B| = |−2| × |3| = 6. Les deux calculs donnent exactement le même résultat.

Pour tester une mesure proposée sur une algèbre, on vérifie d'abord les trois règles vectorielles, puis on calcule séparément la norme d'un produit. Si l'égalité échoue mais que l'inégalité sous-multiplicative tient toujours, la mesure relève de la convention courante plutôt que de la convention forte de la source.

Pour encadrer un calcul comportant plusieurs produits, la sous-multiplicativité suffit souvent : elle donne une borne sur le résultat sans le calculer exactement. L'égalité multiplicative est préférable seulement lorsque l'on doit retrouver exactement la taille du produit à partir des tailles des facteurs.

Si seule l'addition et la multiplication par un scalaire interviennent, une norme vectorielle suffit. La structure multiplicative devient décisive dès que le problème combine des éléments de l'algèbre par un produit.

Norme vectorielle. Elle impose positivité, séparation du zéro, inégalité triangulaire et homogénéité, sans condition sur le produit. Dans l'algèbre ℝ² munie du produit coordonnée par coordonnée, la norme euclidienne est vectorielle, mais les éléments A = (1, 0) et B = (0, 1) ont chacun une norme égale à 1 alors que AB = (0, 0). Elle ne vérifie donc pas l'égalité multiplicative.

Algèbre de Banach. Une norme d'algèbre contrôle le produit ; une algèbre de Banach ajoute une propriété de complétude. Le test qui tranche consiste à examiner les suites de Cauchy : leur convergence dans l'algèbre n'est pas garantie par les seuls axiomes de norme.

Égalité ou inégalité. Une norme peut vérifier ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ sans atteindre toujours l'égalité. Le symptôme est un produit strictement plus petit que la borne. Il faut alors lire la convention adoptée avant de conclure que la norme est invalide.

Diviseurs de zéro. Si deux éléments non nuls A et B vérifient AB = 0_M, une norme séparant le zéro ne peut pas être exactement multiplicative : ‖AB‖ vaut 0, alors que ‖A‖ ‖B‖ est positif. Dans ce cas, on emploie la condition sous-multiplicative.

Deux éléments neutres. L'expression « élément neutre » de la source doit désigner le neutre additif 0_M. Une norme s'annule en 0_M, pas en l'unité multiplicative : sur ℝ, la norme de 1 vaut 1.

Valeur absolue du corps. La formule d'homogénéité contient |k|. Elle suppose donc qu'une valeur absolue est fixée sur le corps K. Sans cette donnée, le facteur qui mesure le scalaire k n'est pas défini.

La fiche norme replace positivité, homogénéité et inégalité triangulaire dans le cadre général des espaces vectoriels.

La fiche algèbre précise la structure dans laquelle addition, multiplication et action des scalaires coexistent.

La fiche algèbre de Banach montre ce que la complétude ajoute à une algèbre munie d'une norme compatible avec le produit.