Unité approchée

Imaginez une fonction dont on veut conserver la forme tout en la moyennant sur un voisinage de plus en plus étroit. Chaque moyenne la modifie encore un peu, mais l'écart finit par devenir imperceptible dans la norme choisie.

L'unité approchée est la famille de petits noyaux qui réalise ce geste. Aucun de ses membres n'est forcément un véritable élément neutre. C'est leur effet à la limite qui imite l'identité.

Soit A une algèbre de Banach, c'est-à-dire une algèbre munie d'une norme complète compatible avec son produit. Une famille d'éléments de A, notée (e_α), est une unité approchée à gauche si, pour chaque élément a de A, son produit par e_α converge vers a en norme : $\parallel e_{\alpha }a-a\parallel ⟶0\backslash lVert\; e\_\backslash alpha\; a-a\backslash rVert\; \backslash longrightarrow\; 0$. L'indice α peut parcourir une suite ou, plus généralement, un réseau ordonné.

Une unité approchée à droite vérifie de même $\parallel a{e}_{\alpha }-a\parallel ⟶0\backslash lVert\; a\; e\_\backslash alpha-a\backslash rVert\; \backslash longrightarrow\; 0$. Elle est dite bilatère lorsque les deux convergences ont lieu. Dans une algèbre commutative, les côtés gauche et droit coïncident.

La famille est bornée lorsqu'il existe une constante M telle que ${\sup }_{\alpha }\parallel e_{\alpha }\parallel \le M\backslash sup\_\backslash alpha\; \backslash lVert\; e\_\backslash alpha\backslash rVert\; \backslash le\; M$. Un véritable élément neutre fournit l'unité approchée constante, mais l'intérêt de la notion apparaît surtout lorsque cet élément manque, notamment dans L¹(ℝ) muni de la convolution.

On rencontre l'unité approchée dans une algèbre de fonctions ou d'opérateurs où aucun élément interne ne laisse tous les autres inchangés. Plusieurs marqueurs la signalent : une famille indexée, une multiplication ou une convolution, une limite prise dans une norme et une propriété exigée pour chaque élément de l'algèbre.

Dans L¹(ℝ), ses éléments ressemblent à des noyaux d'aire 1, concentrés de plus en plus près de 0. Le support et la hauteur changent avec l'indice, tandis que leur action par convolution se rapproche de l'identité. Ici, le mot « unité » ne désigne ni une grandeur physique ni un symbole de mesure.

La grandeur à lire est l'erreur en norme entre le produit obtenu et l'élément de départ. 1. Identifiez d'abord l'algèbre, son produit et sa norme. 2. Vérifiez de quel côté agit e_α. 3. Fixez un élément a, puis étudiez l'erreur $\parallel e_{\alpha }a-a\parallel \backslash lVert\; e\_\backslash alpha\; a-a\backslash rVert$. 4. Montrez que cette erreur tend vers 0 pour tout a, et non pour un seul exemple.

Un noyau qui devient très haut peut sembler non borné. Ce regard porte sur ses valeurs ponctuelles, alors que la définition utilise la norme de l'algèbre. Dans L¹(ℝ), une hauteur croissante peut être compensée par un support rétréci : le bon réflexe consiste à calculer l'intégrale de la valeur absolue.

Dans l'algèbre L¹(ℝ) munie de la convolution, prenons la fonction f égale à 1 sur [0, 1] et à 0 ailleurs. Pour chaque entier n positif, le noyau e_n vaut n/2 sur [−1/n, 1/n] et 0 ailleurs. Les données sont donc un support de largeur 2/n, une hauteur n/2 et une aire égale à 1.

1. La norme L¹ du noyau est exactement $\parallel e_n{\parallel }_1=\frac{n}{2}\times \frac{2}{n}=1\backslash lVert\; e\_n\backslash rVert\_1=\backslash frac\{n\}\{2\}\backslash times\backslash frac\{2\}\{n\}=1$. La suite est bornée.

2. Pour n au moins égal à 2, la convolution e_n ∗ f vaut 1 sur [1/n, 1 − 1/n]. Elle varie linéairement dans les deux bandes de bord, chacune large de 2/n.

3. À chaque bord, l'écart avec f forme deux triangles d'aire 1/(2n), soit une erreur totale de 1/n par bord. Ainsi $\parallel e_n\ast f-f{\parallel }_1=\frac{2}{n}⟶0\backslash lVert\; e\_n*f-f\backslash rVert\_1=\backslash frac\{2\}\{n\}\backslash longrightarrow\; 0$.

Le résultat est une approximation de f en norme L¹. Le contrôle est refaisable : pour n = 4, l'erreur vaut exactement 1/2, et la figure montre les deux zones où cette erreur se concentre.

En analyse harmonique, on convolue une fonction avec un noyau de plus en plus concentré pour retrouver cette fonction en norme. Si une unité véritable appartient à l'algèbre, la famille constante est plus directe ; sinon, l'unité approchée fournit le substitut adapté.

Pour tester une proposition sur une algèbre non unitaire, on applique les éléments e_α et on passe à la limite. Cette stratégie est pertinente lorsque les normes des e_α restent contrôlées et que la convergence vaut pour tous les éléments concernés.

Avec des fonctions continues à support compact, on choisit souvent des noyaux continus dont le support se resserre. Il faut toutefois préciser la norme ou la topologie de convergence, car cet espace n'est pas une algèbre de Banach pour toutes les normes usuelles envisagées.

Élément neutre. Un élément neutre u satisfait ua = au = a exactement pour tout a. Une unité approchée est une famille dont les produits convergent seulement vers a. Dans L¹(ℝ) sous convolution, les noyaux e_n de l'exemple jouent ce rôle sans qu'un élément de L¹(ℝ) soit l'identité de convolution.

Suite régularisante. Une suite régularisante est généralement formée de noyaux lisses et sert aussi à lisser les fonctions. Elle peut constituer une unité approchée, mais le lissage n'entre pas dans la définition abstraite. Le noyau rectangulaire de l'exemple est une unité approchée dans L¹(ℝ) sans être lisse.

Unité de mesure. Le mètre ou la seconde compare une grandeur à un étalon. L'unité approchée agit par le produit d'une algèbre et se reconnaît à une convergence en norme ; elle ne mesure aucune grandeur.

Un seul côté ne suffit pas toujours. Dans une algèbre non commutative, e_αa peut tendre vers a sans que ae_α le fasse. Il faut annoncer « à gauche », « à droite » ou « bilatère » et vérifier le produit correspondant.

La convergence n'implique pas la bornitude. L'existence d'une unité approchée et celle d'une unité approchée bornée sont deux propriétés distinctes. Le symptôme est l'absence de majorant uniforme pour les normes ; il faut alors éviter d'utiliser un résultat qui exige ${\sup }_{\alpha }\parallel e_{\alpha }\parallel <+\mathrm{\infty }\backslash sup\_\backslash alpha\backslash lVert\; e\_\backslash alpha\backslash rVert\backslash lt\; +\backslash infty$.

Une suite peut être trop restrictive. Dans certains cadres, aucun index entier ne suffit à organiser toutes les approximations. Un réseau permet de diriger simultanément plusieurs contraintes ; remplacer arbitrairement ce réseau par une suite peut faire perdre la convergence requise.

Le cadre topologique doit être nommé. Les fonctions continues à support compact forment un exemple naturel pour la convolution, mais pas automatiquement une algèbre de Banach avec la norme invoquée. Il faut préciser l'espace complété et la norme, ou parler d'unité approchée dans une algèbre topologique adaptée.

algèbre de Banach — Pour situer la norme complète, le produit et le cadre exact dans lequel la convergence est étudiée.

convolution — Pour approfondir le produit qui transforme les noyaux concentrés de l'exemple en opérateurs d'approximation.

Suite régularisante — Pour étudier le cas lisse, qui associe approximation de l'identité et régularisation des fonctions.