AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
norme d'opérateur
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un meme corps K, munis de normes respectives ||.||_1 et ||.||_2, et f une application lineaire continue de E vers F. La norme de l'operateur f, subordonnee aux normes ||.||_1 et ||.||_2, est definie par : N = sup { ||f(v)||_2 / ||v||_1 }, le supremum etant pris sur tous les vecteurs non nuls v de E. Lorsque N < +infini, N est la norme de l'operateur f. Cette definition s'inscrit dans l'espace vectoriel des applications lineaires continues de E vers F.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la norme d’opérateur comme un étirement maximal.
- Lire sa définition par un supremum de rapports de normes.
- Calculer la valeur 2 pour l’application (x, y) ↦ (2x, y).
- Repérer l’effet du choix des normes et les cas où le supremum n’est pas atteint.
En clair
Imaginez un dessin tracé sur une feuille élastique. Une transformation linéaire étire certaines flèches plus que d’autres. La norme d’opérateur mesure la borne supérieure des facteurs d’agrandissement possibles, en comparant la longueur obtenue à la longueur de départ.
Si cette borne supérieure vaut 2, aucune flèche ne devient plus de deux fois plus longue, mais il n’existe pas toujours de flèche qui atteigne exactement ce double. La mesure dépend donc à la fois de la transformation et de la façon choisie pour mesurer les vecteurs.
Définition
Soient deux espaces vectoriels E et F sur un même corps K. L’espace E est muni d’une norme notée ‖·‖1, et F d’une norme notée ‖·‖2. Pour une application linéaire continue f de E vers F, on compare, pour chaque vecteur non nul v de E, la norme de l’image f(v) à celle de v.
La norme d’opérateur de f, notée ici N, est la borne supérieure de tous ces rapports : . Elle est dite subordonnée aux deux normes choisies. Lorsque E contient un vecteur non nul, la linéarité permet de ne regarder que les vecteurs de norme 1 : .
Le nombre N est le plus petit majorant qui garantit ‖f(v)‖2 ≤ N‖v‖1 pour tout vecteur v. Lorsque ce supremum est fini, il constitue la norme de f dans l’espace vectoriel des applications linéaires continues de E vers F.
De quoi c'est fait
La construction repose sur cinq éléments. L’espace de départ E fournit les vecteurs testés et sa norme ‖·‖1 fixe leur taille. L’espace d’arrivée F reçoit leurs images et sa norme ‖·‖2 mesure la taille obtenue. L’application linéaire f relie les deux espaces. Enfin, le supremum rassemble tous les rapports en une seule valeur extrême.
Changer f modifie les images ; changer l’une des normes modifie les rapports, même si la formule de f reste identique. La linéarité rend inutile la taille absolue du vecteur : seuls comptent sa direction et le facteur d’étirement associé. Ces données suffisent à calculer N ou à établir une borne valable pour toute entrée.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan euclidien, considérons l’application linéaire f qui envoie le vecteur de coordonnées (x, y) sur (2x, y). La norme utilisée au départ et à l’arrivée est la longueur euclidienne. Les données sont donc le facteur 2 sur la première coordonnée, le facteur 1 sur la seconde et un vecteur non nul (x, y).
1. La longueur au carré du vecteur de départ vaut x2 + y2.
2. Celle de son image vaut 4x2 + y2.
3. Comme 4x2 + y2 ≤ 4(x2 + y2), le rapport des longueurs est au plus 2.
4. Pour le vecteur (1, 0), ce rapport vaut exactement 2.
2. Celle de son image vaut 4x2 + y2.
3. Comme 4x2 + y2 ≤ 4(x2 + y2), le rapport des longueurs est au plus 2.
4. Pour le vecteur (1, 0), ce rapport vaut exactement 2.
La norme d’opérateur de f vaut donc 2. Le contrôle est refaisable avec un vecteur vertical : (0, 1) conserve sa longueur, ce qui donne 1 et confirme que toutes les directions ne réalisent pas le maximum. La transformation du cercle unité en ellipse rend cette différence d’étirement visible.
En pratique
Pour encadrer l’effet d’une transformation, on multiplie la taille de l’entrée par sa norme d’opérateur. Dans l’exemple, une erreur de longueur au plus 0,01 produit une erreur d’image au plus 0,02. Si la direction de l’erreur est connue, un calcul direct peut donner une borne plus petite.
Pour comparer deux applications entre les mêmes espaces normés, leurs normes d’opérateur donnent un critère commun : la plus petite amplifie moins dans le pire cas. Si l’on veut comparer un comportement moyen plutôt que le pire cas, cette mesure n’est pas le bon résumé.
Pour vérifier une estimation, on cherche d’abord une borne valable dans toutes les directions, puis un vecteur qui l’atteint. Dans l’exemple, l’inégalité donne 2 et le vecteur (1, 0) prouve que cette borne ne peut pas être abaissée.
À ne pas confondre
Norme d’un vecteur. Elle mesure un élément de E ou de F, tandis que la norme d’opérateur mesure une application entre ces espaces. Dans l’exemple, ‖(1, 0)‖ = 1, mais la norme de l’application f vaut 2.
Rapport obtenu pour un seul vecteur. Ce rapport ne devient la norme d’opérateur que s’il atteint le supremum. Le vecteur (0, 1) donne 1 dans l’exemple, alors que le vecteur (1, 0) révèle la valeur 2.
Rayon spectral. Il décrit le spectre d’un opérateur, qui ne se réduit pas toujours à ses valeurs propres, et non directement son étirement maximal pour les normes choisies. Ces deux quantités peuvent donc répondre à des questions différentes, même lorsqu’une comparaison entre elles est possible.
Limites et pièges
Le vecteur nul est exclu du rapport. Avec v = 0, le dénominateur serait nul. Il faut employer à la place l’inégalité ‖f(v)‖2 ≤ N‖v‖1, qui reste valable au vecteur nul.
La valeur dépend des normes choisies. Deux calculs portant sur la même application peuvent donner des résultats différents si la norme de départ ou d’arrivée change. Avant toute comparaison, il faut donc vérifier que les espaces utilisent les mêmes normes.
Un supremum n’est pas toujours un maximum. La définition exige une borne supérieure, mais pas nécessairement un vecteur qui l’atteigne. Il faut alors construire des vecteurs dont les rapports s’approchent de N, sans annoncer une direction maximale inexistante.
La finitude est décisive. Si les rapports ne sont pas majorés, leur supremum vaut +∞ et il n’existe pas de norme d’opérateur finie pour cette application. À l’autre seuil, N = 0 signifie que toutes les images sont nulles.
Pour aller plus loin
norme — Revenir à la mesure de taille utilisée sur les vecteurs avant de comparer leurs images.
application linéaire — Situer la propriété de linéarité qui rend le rapport indépendant de l’échelle du vecteur.
espace vectoriel — Revoir le cadre dans lequel vivent les vecteurs de départ et d’arrivée.
Rayon spectral — Approfondir une autre mesure associée à certains opérateurs et mieux distinguer leurs rôles.
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