Unitaire (vecteur)

Imaginez une flèche qui indique une direction, mais dont la longueur importe peu. En la ramenant à une longueur de 1 sans changer son orientation, on obtient un vecteur unitaire. Cette flèche devient un repère de direction indépendant de l'échelle du dessin.

Par exemple, dans le plan muni de la norme euclidienne, la flèche de composantes 3 et 4 mesure 5. Diviser chacune de ses composantes par 5 donne une flèche de même direction et de longueur 1. Cette opération s'appelle la normalisation.

Un vecteur est unitaire, ou normé, lorsque sa norme vaut 1. Si le vecteur non nul est noté v et sa norme $\parallel v\parallel \backslash lVert\; v\backslash rVert$, le vecteur unitaire de même direction et de même sens est obtenu par normalisation :

La notion dépend donc de la norme choisie. Dans un espace muni d'un produit scalaire, la norme associée permet de mesurer la longueur. Dans un espace hermitien complexe, un endomorphisme est dit unitaire s'il conserve le produit scalaire. Pour une matrice carrée U, cela équivaut à dire que son inverse est sa transposée conjuguée, notée U^* : $U^{-1}=U^{\ast }U^\{-1\}=U^\{*\}$. Ces matrices forment le groupe U(n). Le même adjectif décrit ainsi un vecteur de norme 1 et, dans un autre contexte, une transformation qui conserve le produit scalaire.

Quatre éléments interviennent. Le vecteur fournit des composantes et une direction. La norme transforme ces composantes en une longueur positive ou nulle. Le facteur de normalisation, égal à l'inverse de cette longueur, redimensionne le vecteur. Le vecteur unitaire obtenu conserve la direction et le sens du vecteur initial, mais sa norme vaut 1.

Les composantes déterminent la norme, puis la norme détermine le facteur appliqué à toutes les composantes. L'opération n'est définie que si le vecteur initial n'est pas nul. Ces données suffisent à construire le représentant unitaire d'une direction. La couleur, l'épaisseur ou la taille graphique d'une flèche ne participent pas à la définition mathématique.

Prenons dans le plan le vecteur v de composantes (3, 4), mesurées dans un repère orthonormé. Les données sont donc la première composante 3, la seconde 4 et la norme euclidienne du repère.

1. Calculer le carré de la norme.

2. Prendre la racine carrée positive.

3. Diviser chaque composante par 5.

4. Contrôler le résultat.

Le vecteur u est donc unitaire. Ses composantes sont (3/5, 4/5), sans unité si les composantes initiales représentent une direction pure. Le contrôle refaisable consiste à additionner 9/25 et 16/25 : le résultat vaut 1.

Une représentation dans le plan montre que la normalisation raccourcit ici la flèche sans modifier sa direction ni son sens.

Pour isoler une direction, on normalise un vecteur non nul. On conserve le vecteur original lorsque sa longueur porte une information utile ; on choisit sa version unitaire lorsque seule l'orientation doit compter.

Dans un calcul avec une base orthonormée, chaque vecteur de base doit avoir une norme égale à 1 et être orthogonal aux autres. Une base seulement orthogonale convient si les longueurs n'ont pas besoin d'être unitaires.

Pour tester une transformation complexe qui doit préserver longueurs et angles, on vérifie la condition unitaire de sa matrice. Une matrice générale reste l'alternative lorsque cette conservation n'est pas requise.

Vecteur unitaire et vecteur normal. « Unitaire » renseigne sur la norme, qui vaut 1 ; « normal » renseigne sur la perpendicularité à une droite, un plan ou une surface. Un vecteur normal de norme 5 n'est pas unitaire, mais sa normalisation donne un vecteur normal unitaire.

Vecteurs unitaires et vecteurs orthogonaux. Deux vecteurs peuvent avoir chacun une norme égale à 1 sans être perpendiculaires. Le test de norme établit qu'ils sont unitaires ; le produit scalaire permet de tester leur orthogonalité.

Vecteur unitaire et matrice unitaire. Le premier est un vecteur dont la norme vaut 1. La seconde est une matrice carrée dont l'inverse égale la transposée conjuguée. Le type de l'objet suffit donc à trancher.

Vecteur nul. Lorsque la norme vaut exactement 0, la division nécessaire à la normalisation est impossible. Il n'existe alors aucune direction à conserver ; il faut exclure ce cas au lieu de lui attribuer un vecteur unitaire.

Norme non précisée. Une même liste de composantes peut avoir des normes différentes selon la norme choisie. Avant d'affirmer qu'un vecteur est unitaire, il faut donc identifier la norme employée ; l'exemple (3, 4) utilise la norme euclidienne.

Calcul approché. Avec des composantes arrondies, la norme calculée peut être très proche de 1 sans lui être exactement égale. Il faut annoncer l'approximation et juger l'écart selon la précision du calcul, plutôt que remplacer abusivement « ≈ 1 » par « = 1 ».

Cadre complexe. La transposée seule ne suffit pas pour caractériser une matrice unitaire complexe : la conjugaison des coefficients est indispensable. Pour des coefficients réels, la transposée conjuguée se réduit à la transposée.

La norme précise la mesure de longueur qui donne son sens au mot « unitaire ».

Le produit scalaire relie longueur, angle et orthogonalité, trois idées mobilisées par les vecteurs unitaires.

La fiche Unitaire (matrice) développe le sens du même adjectif pour les matrices et les transformations.