plan vectoriel

Imaginez deux flèches qui ne suivent pas la même droite. En multipliant chacune par un nombre réel quelconque, y compris une fraction ou un nombre négatif, puis en les additionnant, leurs déplacements peuvent atteindre n'importe quel vecteur du plan.

Ces deux directions indépendantes jouent le rôle de repères. Deux nombres suffisent alors pour décrire chaque vecteur : l'un indique combien de fois prendre la première flèche, l'autre combien de fois prendre la seconde. C'est le sens concret de la dimension 2.

Un plan vectoriel est un espace vectoriel E de dimension 2 sur un corps de scalaires K, souvent le corps des nombres réels. L'ensemble E possède une addition des vecteurs et une multiplication d'un vecteur par un scalaire de K. Ces deux opérations satisfont les axiomes d'espace vectoriel, notamment l'existence du vecteur nul et d'un opposé pour chaque vecteur.

Deux vecteurs u et v forment une base de E s'ils sont linéairement indépendants : la seule relation $au+bv=0a\; u+b\; v=0$, où a et b sont des scalaires, impose a = 0 et b = 0. Dans ce cas, chaque vecteur w de E admet une écriture unique : $w=au+bvw=a\; u+b\; v$. Les nombres a et b sont les coordonnées de w dans la base ordonnée (u, v).

Le plan réel ℝ² est l'exemple standard, mais tout sous-espace vectoriel de dimension 2 d'un espace plus grand est aussi un plan vectoriel. Le choix d'une base donne des coordonnées ; il ne fait pas partie de la définition du plan et n'est pas unique.

Un plan vectoriel réunit cinq éléments liés. Le corps K fournit les scalaires. L'ensemble E contient les vecteurs, dont le vecteur nul. L'addition combine deux vecteurs de E ; la multiplication scalaire combine un élément de K et un vecteur de E. Ces deux lois doivent rester dans E et respecter les axiomes d'espace vectoriel.

Une base ordonnée (u, v) est formée de deux vecteurs indépendants de E. Grâce aux deux lois, elle engendre tous les vecteurs a u + b v. L'indépendance garantit en plus que les coordonnées a et b sont uniques.

La base, les axes dessinés et l'échelle du tracé peuvent changer sans changer le plan vectoriel. Ils suffisent toutefois à construire une représentation et à calculer les coordonnées de chaque vecteur.

Dans le plan réel ℝ², prenons les vecteurs u = (2, 1), v = (1, 2) et w = (5, 4). Nous cherchons les coordonnées de w dans la base ordonnée (u, v). Les données sont donc les six coordonnées 2, 1, 1, 2, 5 et 4.

1. Vérifions que u et v sont indépendants. Le déterminant formé par leurs coordonnées vaut 2 × 2 − 1 × 1 = 3. Comme 3 ≠ 0, les deux vecteurs forment une base de ℝ².

2. Cherchons deux scalaires a et b tels que w = a u + b v. L'égalité des premières puis des secondes coordonnées donne le système :

3. La première équation donne b = 5 − 2a. En la remplaçant dans la seconde, on obtient a + 2(5 − 2a) = 4, puis −3a = −6, donc a = 2 et b = 1. La construction vectorielle correspondante est représentée par un parallélogramme exact.

4. Ainsi, w = 2u + v et ses coordonnées dans la base (u, v) sont (2, 1). Le contrôle se refait coordonnée par coordonnée : 2(2, 1) + (1, 2) = (4, 2) + (1, 2) = (5, 4), qui est bien w.

Pour décrire un vecteur dans un plan vectoriel, choisissez deux vecteurs indépendants puis résolvez l'égalité w = a u + b v. Si les deux vecteurs sont colinéaires, changez-en un : ils ne peuvent pas fournir deux coordonnées uniques.

Pour reconnaître un plan vectoriel dans ℝ³, vérifiez qu'il contient le vecteur nul et qu'il reste stable par addition et multiplication scalaire. Si un plan géométrique ne passe pas par l'origine, traitez-le comme un plan affine plutôt que comme un sous-espace vectoriel.

Pour changer de base, exprimez les deux nouveaux vecteurs dans l'ancienne base et vérifiez leur indépendance. Si le déterminant des deux colonnes est nul, la matrice de changement de base n'est pas inversible et une autre paire est nécessaire.

Plan vectoriel et plan affine. Un plan vectoriel possède un vecteur nul et est stable par multiplication scalaire. Dans ℝ³, le plan d'équation z = 0 est vectoriel ; le plan d'équation z = 1 est affine et ne contient pas l'origine.

Plan vectoriel et ℝ². ℝ² est un plan vectoriel réel particulier, pas la définition entière. Le sous-espace de ℝ³ engendré par (1, 0, 0) et (0, 1, 1) est aussi un plan vectoriel réel, même si ses vecteurs ont trois coordonnées.

Dimension du dessin et dimension vectorielle. Une figure tracée sur une feuille peut représenter une droite vectorielle ou un espace de dimension supérieure. Le critère est le nombre de vecteurs d'une base, non la surface occupée par le dessin.

Deux vecteurs ne suffisent pas toujours. S'ils sont colinéaires, leurs combinaisons restent sur une seule droite. Après les avoir représentés par deux coordonnées dans une base du plan, le déterminant de la matrice qui a ces coordonnées pour colonnes est alors nul. Remplacez l'un d'eux par un vecteur hors de cette droite avant de parler de base du plan.

Le corps des scalaires compte. La dimension dépend du corps choisi. L'ensemble ℂ est de dimension 1 comme espace vectoriel complexe, mais de dimension 2 comme espace vectoriel réel, avec par exemple la base (1, i). Il faut donc annoncer les scalaires avant d'affirmer qu'un espace est un plan vectoriel.

Le mot « plan » n'impose pas une géométrie euclidienne. Une norme, des distances ou des angles ne découlent pas des seuls axiomes d'espace vectoriel. Si un calcul utilise orthogonalité ou longueur, ajoutez explicitement un produit scalaire ou la structure adaptée.

Coordonnées et vecteur ne sont pas identiques. Le vecteur w de l'exemple a les coordonnées (2, 1) dans la base (u, v), mais (5, 4) dans la base canonique de ℝ². Lorsqu'une paire change sans que le vecteur change, précisez toujours la base utilisée.

espace vectoriel — Replacer le plan parmi les espaces de dimension quelconque et retrouver les lois qui structurent leurs vecteurs.

Combinaison linéaire — Approfondir l'écriture a u + b v qui engendre les vecteurs du plan et fournit leurs coordonnées.

Indépendants (vecteurs) — Examiner le critère qui empêche deux directions de se réduire à une seule droite vectorielle.