Indépendants (vecteurs)

Imaginez des flèches dessinées depuis le même point. Une flèche apporte une direction nouvelle si aucune combinaison des autres ne permet de la reproduire. Une famille de vecteurs est dite linéairement indépendante quand aucune flèche n'est ainsi redondante. Dans le plan, deux flèches qui ne pointent pas sur la même droite sont indépendantes. Trois flèches du plan sont forcément dépendantes, car le plan ne possède que deux directions indépendantes.

Le test consiste à chercher si une combinaison des vecteurs peut donner le vecteur nul, c'est-à-dire une flèche de longueur nulle. Si la seule réussite utilise des coefficients tous nuls, la famille est indépendante.

Soit une famille de vecteurs v₁,…,vₖ dans un même espace vectoriel. Elle est linéairement indépendante lorsque la relation $a_1{v}_1+\cdots +a_k{v}_k=0a\_1v\_1+\backslash cdots+a\_kv\_k=0$, où les aᵢ sont des nombres et 0 le vecteur nul, entraîne $a_1=\cdots =a_k=0a\_1=\backslash cdots=a\_k=0$. On appelle cette solution la relation linéaire triviale.

La notion s'applique à des vecteurs du même espace, par exemple des couples de nombres dans le plan. Une famille est dépendante dès qu'il existe une relation nulle avec au moins un coefficient non nul. Dans ce cas, un vecteur de la famille peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres, après réarrangement de la relation.

Une famille indépendante peut être complétée pour former une base, c'est-à-dire une famille indépendante qui engendre l'espace. Le nombre de vecteurs d'une base définit la dimension de l'espace, tandis que le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre. Ainsi, l'indépendance mesure l'absence de redondance entre les directions proposées.

Dans le plan, considérons les vecteurs u=(1,1), v=(1,0) et w=(2,1). Nous cherchons si cette famille contient une redondance.

Les données sont u=(1,1), v=(1,0), w=(2,1), avec la relation à tester αu+βv+γw=(0,0).

On observe d'abord que w=u+v.
On réarrange ensuite : u+v−w=(0,0).
Les coefficients 1, 1 et −1 ne sont pas tous nuls.
La relation linéaire non triviale prouve donc que u, v et w sont linéairement dépendants.

Le contrôle se refait coordonnée par coordonnée : 1+1−2=0 et 1+0−1=0. La troisième flèche n'ajoute donc aucune direction au plan engendré par u et v.

Pour tester une famille de vecteurs donnée par ses coordonnées, on cherche les coefficients d'une combinaison qui produit le vecteur nul. Un coefficient non nul dans une solution suffit à conclure à la dépendance.

Pour construire des coordonnées sans redondance, on conserve une famille indépendante et on ajoute seulement des vecteurs qui n'appartiennent pas à l'espace déjà engendré. Le critère observable est alors l'augmentation du rang.

En calcul matriciel, on place les vecteurs en colonnes d'une matrice et l'on résout le système homogène associé. Cette méthode est préférable à un dessin lorsque les coordonnées sont nombreuses ou que l'espace possède plus de trois dimensions.

Indépendance linéaire et indépendance d'événements. Pour des vecteurs, le critère est une combinaison linéaire égale au vecteur nul. Pour des événements A et B, le critère est probabiliste : $P(A\cap B)=P(A)P(B)P(A\backslash cap\; B)=P(A)P(B)$. Ainsi, la relation u+v−w=0 dans l'exemple concerne des vecteurs, pas des événements aléatoires.

Indépendance linéaire et orthogonalité. Deux vecteurs non nuls orthogonaux sont indépendants, mais l'inverse est faux. Par exemple, (1,0) et (1,1) ne sont pas orthogonaux, tout en étant indépendants, car aucune de leurs deux directions ne se réduit à un multiple de l'autre.

Le vecteur nul rend toute famille dépendante dès qu'il y figure : son coefficient peut être égal à 1 et tous les autres à 0, ce qui donne déjà le vecteur nul. Il faut donc vérifier qu'aucun vecteur nul ne se trouve dans la famille.

Deux vecteurs non nuls sont dépendants exactement lorsqu'ils sont colinéaires, c'est-à-dire lorsque l'un est un multiple de l'autre. Cette équivalence ne se généralise pas telle quelle à trois vecteurs : dans le plan, trois vecteurs sont toujours dépendants, même si aucune paire n'est colinéaire.

Une famille de k vecteurs dans un espace de dimension n ne peut être indépendante que si k≤n. Ce seuil est nécessaire mais pas suffisant : dans le plan, les deux vecteurs (1,0) et (2,0) respectent k=2, mais ils sont dépendants parce qu'ils sont colinéaires.

Une famille indépendante est la matière première d'une base : en lui ajoutant des vecteurs jusqu'à engendrer tout l'espace, on obtient une représentation sans redondance. La dimension est alors le nombre de directions nécessaires dans une base, et le rang mesure le nombre de directions effectivement apportées par une famille quelconque.