GéométrieNotion · Glossaire
Erlangen (programme d')
Le programme d'Erlangen est une conception de la géométrie proposée par Felix Klein en 1872, qui unifie les différentes géométries comme l'étude des invariants d'un groupe de transformations. Chaque géométrie est ainsi définie par un espace et un groupe d'automorphismes : la géométrie euclidienne correspond au groupe des isométries, la géométrie affine au groupe des transformations affines, la géométrie projective au groupe projectif. Ce programme a profondément influencé la vision moderne de la géométrie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’espace, le groupe de transformations et les invariants qui caractérisent une géométrie.
- Vérifier sur un triangle 3–4–5 qu’une isométrie conserve les distances.
- Distinguer invariant, point fixe, groupe et transformation isolée.
- Situer les cadres euclidien, affine et projectif dans la classification.
En clair
Dessinez un triangle sur un calque, puis faites glisser ou tourner le calque. Le triangle change de place, mais ses longueurs restent les mêmes. Si le calque est étiré, les longueurs peuvent changer, tandis que certains alignements subsistent.
Le programme d’Erlangen propose de reconnaître une géométrie par ce qui résiste à une famille choisie de transformations. Ces propriétés conservées sont les invariants. Changer de famille de transformations revient donc à changer les questions géométriques pertinentes.
Définition
Le programme d’Erlangen est une conception unificatrice proposée par Felix Klein en 1872. Une géométrie y est caractérisée par un espace, noté X, et par un groupe G d’automorphismes de cet espace. Un groupe réunit des transformations composables, contient la transformation qui ne change rien et associe à chaque transformation une transformation inverse.
Une propriété I des configurations de X est un invariant lorsqu’elle garde la même valeur après toute transformation g appartenant à G. Pour une configuration C, cette condition s’écrit : . Le choix de G détermine ainsi les propriétés que la géométrie étudie.
Dans cette classification, la géométrie euclidienne correspond au groupe des isométries, la géométrie affine au groupe des transformations affines et la géométrie projective au groupe projectif. Le programme ne dit pas que ces géométries ont les mêmes invariants : il leur donne un cadre commun pour préciser lesquels chacune conserve.
Un exemple, pas à pas
Considérons le triangle dont les sommets sont A(0, 0), B(4, 0) et C(0, 3). On lui applique la transformation T qui effectue un quart de tour, puis une translation. La figure montre que le triangle obtenu change de position et d’orientation sans changer de dimensions.
Données.
A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3).
Pour tout point de coordonnées (x, y), la transformation est .
A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3).
Pour tout point de coordonnées (x, y), la transformation est .
Étape 1. En remplaçant x et y par les coordonnées des trois sommets, on obtient A′(2, 1), B′(2, 5) et C′(−1, 1).
Étape 2. Les longueurs initiales valent AB = 4, AC = 3 et BC = 5. Les mêmes calculs donnent A′B′ = 4, A′C′ = 3 et B′C′ = 5.
Étape 3. Le contrôle sur le côté oblique utilise les différences de coordonnées : .
Conclusion. T conserve les trois distances du triangle : c’est une isométrie, donc une transformation admise par la géométrie euclidienne. Le même contrôle peut être refait sur chaque paire de sommets.
En pratique
Pour étudier une figure déplacée ou retournée sans déformation, on choisit le cadre euclidien. Le geste utile consiste à comparer des distances ou des angles, car une isométrie les conserve.
Lorsqu’une figure est étirée dans une direction, le cadre affine devient plus adapté. Des longueurs ou des angles peuvent alors varier ; on examine plutôt les alignements, le parallélisme et les rapports portés par une même droite.
Pour une transformation projective, le réflexe est de ne plus exiger la conservation des mesures euclidiennes. On suit les relations d’incidence, c’est-à-dire quels points appartiennent à quelles droites.
À ne pas confondre
Invariant et point fixe. Un invariant est une propriété conservée, pas nécessairement un point immobile. Dans une translation, tous les sommets du triangle bougent, mais les distances entre eux restent inchangées.
Groupe et transformation isolée. Une seule application ne définit pas le cadre du programme d’Erlangen. Il faut une famille stable par composition et par passage à l’inverse, avec l’identité.
Unification et identité des géométries. Le programme fournit une même grille de lecture, mais il ne rend pas euclidiennes, affines et projectives interchangeables. Le groupe choisi tranche : une longueur conservée par les isométries peut changer sous une transformation affine.
Limites et pièges
Le même espace ne suffit pas. Deux groupes différents agissant sur le même espace peuvent produire des géométries différentes. Le symptôme est qu’une propriété annoncée invariante cesse de l’être après une transformation autorisée ; il faut alors préciser le groupe.
Toute collection de transformations ne convient pas. Si la composition de deux transformations choisies sort de la collection, celle-ci n’est pas un groupe. Il faut la compléter ou changer de cadre avant de parler des invariants correspondants.
Une application qui écrase la figure n’est pas un automorphisme. Si deux points distincts ont la même image, aucune transformation inverse ne peut les retrouver. Le programme exige ici des automorphismes, donc des transformations bijectives de l’espace considéré.
Un invariant dépend des objets observés. Dire seulement « cette quantité est conservée » reste incomplet. Il faut nommer la configuration, le groupe qui agit et la propriété testée, comme les trois distances du triangle sous l’isométrie T.
Pour aller plus loin
Le programme d’Erlangen développe le contexte et la portée de cette classification des géométries.
Des transformations géométriques en groupes approfondit le passage d’une transformation isolée à une structure de groupe.
Géométrie projective présente l’une des géométries que le programme caractérise par son groupe de transformations.
Klein Félix permet de situer le mathématicien auquel la source attribue le programme de 1872.
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