Fano Gino

En 1890, avant même son diplôme à Turin, Gino Fano traduit en italien le programme d’Erlangen de Felix Klein. Ce texte propose de rapprocher les géométries grâce aux transformations qui préservent leurs propriétés.

Fano prolonge cette recherche d’une géométrie abstraite et rigoureuse. Son exemple le plus visible tient en sept points et sept droites : le plan de Fano, plus petit plan projectif fini. Il porte aussi son nom à des surfaces et à des variétés de géométrie algébrique.

Gino Fano (1871–1952) est un mathématicien italien dont les travaux relient la géométrie projective, la géométrie algébrique et l’axiomatisation de la géométrie. Formé à Turin, diplômé en 1892, il travaille ensuite à Göttingen auprès de Felix Klein. Il avait traduit en italien le programme d’Erlangen dès 1890. Après avoir assisté Guido Castelnuovo, il devient professeur à l’université de Turin en 1901.

Le plan de Fano est son objet emblématique. C’est le plus petit plan projectif fini : il est construit sur le corps à deux éléments et possède exactement sept points et sept droites. Dans un modèle par triplets binaires, les points sont les sept triplets non nuls de trois éléments. Une droite peut être décrite par une équation linéaire binaire non nulle ; les calculs s’y font avec 1 + 1 = 0.

Les surfaces de Fano et les variétés de Fano appartiennent, elles, à la géométrie algébrique moderne. Elles ne sont pas un autre nom du plan à sept points. Écarté de l’enseignement supérieur en 1938 par le régime fasciste en raison de ses origines juives, Fano poursuit son activité en Suisse, puis aux États-Unis après la guerre.

Prenons le plan de Fano construit avec les triplets de 0 et de 1. Les sept points sont 100, 010, 001, 110, 101, 011 et 111. L’addition se fait coordonnée par coordonnée avec la règle 1 + 1 = 0. Les trois coordonnées d’un point sont appelées x, y et z. La droite étudiée répond au critère suivant :

1. Considérons cette droite dans le corps à deux éléments.
2. Le point 110 lui appartient, car 1 + 1 + 0 = 0 dans ce corps.
3. Les points 101 et 011 vérifient le même critère.
4. Les quatre autres triplets ont une somme égale à 1 : ils ne sont pas sur cette droite.

La droite obtenue contient donc exactement 110, 101 et 011. dans la représentation conventionnel, ces trois points sont placés sur le cercle rouge ; ce cercle représente une droite projective, et non une droite euclidienne courbe.

Le contrôle se refait sans figure : 110 + 101 = 011, coordonnée par coordonnée. Les trois points sont ainsi reliés par la même relation binaire.

Pour rencontrer concrètement les travaux de Gino Fano, on peut commencer par son plan à sept points. Le geste utile consiste à tester l’appartenance d’un triplet à une droite avec l’arithmétique binaire.

Si la question porte sur l’unification des géométries par les groupes de transformations, le programme d’Erlangen est le meilleur point de départ. Fano en a traduit le texte en italien avant de poursuivre ses propres recherches axiomatiques.

Si le contexte est la géométrie algébrique moderne, les expressions « variété de Fano » et « surface de Fano » signalent une autre branche de son héritage. Le nombre de points ne sert alors pas à les identifier.

Gino Fano et le plan de Fano. Gino Fano est le mathématicien ; le plan de Fano est un objet mathématique qui porte son nom. Une date ou un poste universitaire concerne la personne, tandis que sept points et sept droites décrivent le plan.

Plan de Fano et variété de Fano. Le premier est le plus petit plan projectif fini, construit sur le corps à deux éléments. La seconde relève de la géométrie algébrique moderne ; l’expression « sept points et sept droites » tranche immédiatement en faveur du plan.

Le dessin n’est pas une carte euclidienne. Un cercle y joue le rôle d’une droite projective. Chercher uniquement des traits rectilignes ferait manquer l’une des sept droites ; il faut suivre les groupes de trois points incidents.

L’arithmétique ordinaire donne un faux verdict. Dans le corps à deux éléments, 1 + 1 vaut 0. Lire 110 comme le nombre cent dix ou calculer 1 + 1 = 2 empêche de vérifier les droites du modèle.

Le nombre sept ne décrit pas tout l’héritage de Fano. Les sept points et les sept droites caractérisent le plan de Fano dans cette fiche. Ils ne constituent pas une définition des surfaces ou des variétés de Fano.

géométrie projective — Situer le plan de Fano dans la géométrie dont il constitue le plus petit modèle fini.

Le programme d'Erlangen — Retrouver le texte fondateur traduit par Fano et son approche des géométries par les transformations.

Au service des courbes — Prolonger la lecture vers la géométrie algébrique, autre domaine central des travaux de Fano.