Pieri Mario

Imaginez un mathématicien qui cherche les ingrédients indispensables pour décrire une géométrie. Mario Pieri a travaillé sur la géométrie projective, mais aussi sur les fondements qui permettent de bâtir une théorie avec des axiomes. Dans Monographia del punto e del moto, publiée en 1900, il retient le point et le mouvement comme notions primitives à partir desquelles il axiomatise la théorie. Son parcours relie ainsi les figures géométriques, la logique des définitions et le langage symbolique de Giuseppe Peano.

Mario Pieri est un mathématicien italien de l'école italienne de géométrie, spécialisé dans la géométrie projective et les fondements de la géométrie. Son travail porte notamment sur la manière de formuler une théorie géométrique à partir de notions primitives et d'axiomes, c'est-à-dire de propositions de départ qui organisent les raisonnements.

Dans Monographia del punto e del moto (1900), Pieri retient le point et le mouvement comme deux notions primitives à partir desquelles la théorie est formulée ; il propose séparément une formulation plus économique des axiomes de la géométrie. Cette démarche ne décrit pas seulement des figures particulières : elle cherche les éléments conceptuels à partir desquels la théorie peut être reconstruite. En 1905, il propose une axiomatique de la géométrie projective complexe dans Nuovi principii di geometria proiettiva complessa. Il publie aussi, en 1906–1907, deux articles consacrés à une axiomatique de l'arithmétique, qui simplifient et complètent la théorie de Peano.

Prenons comme fil conducteur la démarche présentée dans Monographia del punto e del moto, publiée en 1900. Les données historiques sont les suivantes : l'objet est la géométrie ; les notions primitives retenues sont le point et le mouvement ; le résultat annoncé par la source concerne une réduction du système axiomatique de la géométrie, distincte du choix de ces notions.

Pour mettre la distinction à l'épreuve, classez quatre éléments du cadre décrit : « le point », « le mouvement », « une proposition de départ qui organise un raisonnement » et « la réduction du système axiomatique ». Les deux premiers sont des notions primitives ; le troisième correspond à un axiome ; le dernier est un résultat rapporté, distinct du choix des notions primitives. Vous pouvez donc vérifier votre classement en demandant, pour chaque élément, s'il sert de notion de départ, de proposition organisatrice ou de résultat.

Le contrôle consiste à vérifier que les deux notions citées sont bien celles du titre et du résultat rapporté. Cet exemple montre une démarche axiomatique ; il ne prétend pas fournir la liste complète des axiomes de l'ouvrage.

Pour situer Pieri dans l'histoire des mathématiques, on peut suivre ses publications et ses enseignements. La géométrie projective et descriptive occupe une place dans son enseignement à l'Académie militaire de Turin à partir de 1886, puis il enseigne à Turin, Catane et Parme.

Pour comprendre son travail fondationnel, on peut comparer les notions de départ avec la théorie qu'elles organisent. Le point et le mouvement constituent les deux notions primitives retenues dans Monographia del punto e del moto ; ce cadre est à consulter lorsque la question porte sur la reformulation ou la réduction du système axiomatique de la géométrie.

Pour replacer sa notation dans son contexte, on peut retenir sa collaboration avec Giuseppe Peano au Formulario mathematico. Ce projet est pertinent lorsque l'on cherche le lien entre les grandes théories mathématiques et le langage symbolique introduit par Peano.

La géométrie projective ne se confond pas avec l'axiomatique de l'arithmétique. Le critère qui les sépare est l'objet de la théorie : la première concerne la géométrie, tandis que les deux articles de Pieri parus en 1906–1907 portent sur une axiomatique de l'arithmétique. Une question sur des nombres et sur la théorie de Peano relève donc du second cadre, pas de la géométrie projective.

Le piège principal consiste à transformer une contribution précise en affirmation générale sur toute la géométrie. Le choix du point et du mouvement comme notions primitives est attribué par la source à Monographia del punto e del moto (1900) ; la réduction du système axiomatique relève d'une question distincte. Le bon réflexe est donc de rattacher ces deux éléments à cet ouvrage et à son cadre, plutôt que de les attribuer indistinctement à toutes les axiomatiques géométriques.

Un second piège est de réunir sous une seule date des travaux différents. Les deux thèses sont soutenues en 1884 ; l'enseignement à l'Académie militaire de Turin commence à partir de 1886 ; la traduction de Geometrie der Lage date de 1889 ; les ouvrages cités paraissent en 1898 et 1900 ; l'axiomatique de la géométrie projective complexe paraît en 1905 ; les articles sur l'arithmétique datent de 1906–1907. Pour éviter la confusion, associez chaque année au résultat indiqué.

La fiche géométrie projective permet de prolonger le volet géométrique du parcours de Pieri et de situer la théorie à laquelle ses travaux sont associés.

La fiche axiomatique aide à comprendre le rôle des axiomes dans une théorie et à distinguer, dans Monographia del punto e del moto, le choix des notions primitives de la réduction rapportée du système axiomatique.