Padoa Alessandro

Imaginez une théorie comme un jeu dont certaines pièces sont posées au départ. Un terme primitif est l'une de ces pièces : la théorie l'admet sans le définir avec les autres. La méthode étudiée par Padoa cherche alors deux interprétations sur le même domaine, qui gardent exactement les mêmes interprétations pour tous les autres symboles autorisés, mais donnent un sens différent à ce terme. Si les deux interprétations respectent encore les règles de la théorie, les autres termes ne suffisent pas à le définir. Cette idée relie la théorie de la définition à la méthode axiomatique.

Alessandro Padoa est un mathématicien et logicien italien associé à l'école de Peano. Sa contribution porte sur la théorie de la définition dans une théorie axiomatique, c'est-à-dire un ensemble de notions et de règles dont certaines sont admises au départ. Une notion est dite primitive lorsque la théorie la prend comme donnée plutôt que de la construire à partir des autres termes.

Pour montrer qu'un symbole ne peut pas être défini par les autres, la méthode de Padoa compare deux modèles de la même théorie. Les deux modèles doivent avoir le même domaine et donner exactement la même interprétation aux symboles censés servir à la définition, tout en donnant des interprétations différentes au symbole étudié. Dans la formulation plus générale, leurs réductions au langage des symboles autorisés peuvent être isomorphes, mais cette isomorphie ne doit pas préserver l'interprétation du symbole étudié : une simple différence brute d'interprétation sur des domaines éventuellement différents ne suffit pas. Ils doivent également satisfaire les mêmes axiomes. Ici, A et B peuvent désigner des symboles de prédicat ; au sens formel strict, ce ne sont pas des termes. Une telle paire de modèles montre qu'aucune définition utilisant seulement les autres symboles ne peut distinguer les deux interprétations.

Padoa présente cette démarche en 1900 au Congrès international de philosophie de Paris. Elle transpose à la définition une idée de séparation proche de la méthode axiomatique : pour établir une impossibilité de définition, on construit deux réalisations compatibles avec les règles, puis on observe la différence qui subsiste.

Considérons le langage d'une théorie sans axiome contraignant les symboles A et B, où A et B sont des prédicats unaires. On veut savoir si la propriété A peut être définie avec le seul prédicat B.

Étape 1. On choisit un même domaine à deux objets. Dans les deux modèles, la propriété B reçoit exactement le même sens : elle est fausse pour les deux objets.
Étape 2. Dans le premier modèle, A est vraie pour le premier objet et fausse pour le second.
Étape 3. Dans le second modèle, A est fausse pour les deux objets.
Étape 4. Les deux modèles ont donc le même domaine et le même sens pour B, mais un sens différent pour A.

Toute expression construite uniquement avec B aurait le même résultat dans les deux modèles, puisque B y est inchangé. Elle ne peut donc pas reproduire A, qui change. Ce cas illustre le geste de Padoa : la différence entre deux modèles compatibles rend visible la non-définissabilité.

Dans l'étude d'une théorie axiomatique, cette méthode sert à tester le statut d'une notion. On fixe les autres termes, on construit deux modèles qui satisfont les axiomes, puis on vérifie si la notion ciblée change.

Le critère observable est la conservation ou non des interprétations : si toutes les notions candidates restent identiques mais que le terme étudié varie, une définition par ces notions est impossible. Si cette construction échoue, il faut poursuivre l'analyse des modèles ; l'échec d'un essai ne constitue pas à lui seul une preuve de définissabilité.

Un terme primitif n'est pas simplement un mot difficile ou une notion encore mal expliquée. Il est pris comme point de départ dans une théorie donnée. Une notion peut être primitive dans un système et recevoir une définition dans un autre, si les termes disponibles ou les axiomes changent.

La non-définissabilité ne se confond pas non plus avec l'indépendance d'un axiome. La première concerne la possibilité de définir un terme à partir d'autres termes ; la seconde concerne la possibilité de modifier un axiome sans contradiction avec les autres. Formellement, pour une théorie cohérente, un axiome est indépendant si ni lui ni sa négation ne sont déductibles des autres axiomes, autrement dit si les deux extensions obtenues en l'ajoutant ou en ajoutant sa négation restent cohérentes. Le critère qui tranche ici porte sur les interprétations des termes dans deux modèles, non sur la présence ou l'absence d'un axiome.

Le test ne fonctionne que si les deux modèles respectent réellement les mêmes axiomes et conservent le même sens pour tous les termes autorisés dans la définition. Une différence de domaine, de convention ou d'un terme auxiliaire peut créer une fausse séparation. Il faut donc comparer les interprétations une par une avant de conclure.

Autre piège : ne pas trouver deux modèles ne prouve pas que le terme est définissable. La recherche peut être incomplète, ou la théorie peut imposer davantage de contraintes que prévu. Il faut alors établir une définition effective, ou disposer d'un résultat qui le justifie. Enfin, une théorie sans modèle ne fournit pas le terrain normal de cette comparaison : sa satisfaction doit être examinée avant d'interpréter le test.

La méthode de Padoa invite à voir une théorie axiomatique comme un espace de réalisations possibles. Étudier ce qui reste variable lorsque les autres termes sont fixés aide à distinguer les notions réellement nécessaires des notions que l'on pourrait définir. Cette perspective prépare l'analyse des modèles et des relations entre langage, axiomes et interprétations.