axe de symétrie

Découpez un rectangle en papier, puis pliez-le par le milieu en rapprochant ses côtés courts. Si les contours se recouvrent parfaitement, le pli matérialise un axe de symétrie. Chaque point situé d'un côté arrive sur un point correspondant de l'autre côté.

Dans un rectangle de 6 cm sur 4 cm, le pli vertical passant par le centre échange les sommets de gauche et de droite. Les deux points où le pli coupe le contour restent à leur place.

Dans le plan, un axe de symétrie d'une figure est une droite, appelée D, telle que la réflexion par rapport à D laisse toute la figure inchangée. Autrement dit, l'image de chaque point de la figure appartient encore à la figure, et chaque point de la figure est ainsi obtenu. Si la réflexion est notée s_D et la figure F, cette invariance s'écrit :

Pour tout point qui n'est pas sur D, le segment reliant ce point à son image est perpendiculaire à D et coupé en son milieu par D. Les points placés sur D sont fixes. L'axe peut être vertical, horizontal ou oblique, et une même figure peut en posséder aucun, un ou plusieurs. Le test concerne la figure entière, même si elle est formée de plusieurs morceaux. Dans l'espace, la source emploie une autre opération : une droite D est un axe lorsque la rotation de 180° autour de D laisse la figure globalement inchangée.

On considère le rectangle ABCD, long de 6 cm et large de 4 cm. Les sommets A et B sont en haut, tandis que D et C sont respectivement placés sous eux. Le point E est le milieu du côté AB et le point F celui du côté DC. La droite d passe par E et F.

1. Le point E partage AB en deux segments de 3 cm, et la droite d est perpendiculaire à AB.
2. La réflexion par rapport à d envoie donc A sur B. De même, elle envoie D sur C.
3. Les points E et F appartiennent à d : ils restent fixes.
4. Les côtés AB et DC restent chacun invariants comme segments, tandis que AD et BC sont échangés. Le contour entier se superpose à lui-même.

La droite d est donc un axe de symétrie du rectangle. Pour contrôler le résultat, on peut plier suivant d : A doit coïncider avec B, D avec C, et les quatre bords doivent se recouvrir exactement.

Pour tester une forme découpée, le pliage est le contrôle le plus direct. On choisit un pli candidat et on vérifie tout le contour. Si une seule partie dépasse, cette droite n'est pas un axe.

Sur un dessin qu'on ne peut pas plier, on choisit plusieurs points remarquables. On trace leurs perpendiculaires à la droite candidate et on compare les distances de part et d'autre. Cette vérification géométrique remplace le pliage lorsque la précision du tracé compte.

Sur un quadrillage, on peut compter les carreaux entre chaque point et la droite candidate. Il faut aussi contrôler les segments reliant ces points : quelques couples bien placés ne suffisent pas si le reste de la figure ne se correspond pas.

Axe de symétrie et réflexion. L'axe est la droite qui sert de repère ; la réflexion est la transformation effectuée par rapport à cette droite. Dans le rectangle ABCD, d est l'axe, tandis que la réflexion par rapport à d envoie A sur B.

Axe de symétrie et médiatrice. La médiatrice concerne un segment précis : elle lui est perpendiculaire et passe par son milieu. Elle devient un axe d'une figure seulement si la réflexion conserve toute cette figure. La médiatrice de AB est bien d dans l'exemple, mais une médiatrice tracée dans une forme irrégulière n'en est pas forcément un axe.

Symétrie axiale et symétrie centrale. La première utilise une droite et s'observe par un retournement. La seconde utilise un point et équivaut à un demi-tour dans le plan. Un parallélogramme quelconque a une symétrie centrale à l'intersection de ses diagonales, sans avoir nécessairement d'axe de symétrie.

Une ressemblance partielle ne suffit pas. Deux sommets peuvent s'échanger correctement alors qu'une encoche n'a pas de correspondante. Le symptôme est qu'une portion du contour ne se superpose pas. Il faut vérifier l'image de la figure entière.

Un axe n'est pas forcément vertical. Une droite oblique peut convenir. Tourner mentalement la feuille ne change pas la propriété ; il faut tester les distances perpendiculaires à la droite candidate plutôt que son orientation sur la page.

Plusieurs morceaux peuvent former une figure symétrique. Chaque morceau n'a pas besoin de rester à sa place : la réflexion peut échanger deux composantes séparées. Le bon contrôle porte sur leur réunion, avant et après la transformation.

Dans l'espace, le vocabulaire change de geste. Selon la définition source, l'axe est une droite autour de laquelle un demi-tour de 180° conserve la figure. Ce test n'est pas un pliage suivant un plan : il faut effectuer la rotation autour de la droite.

La Réflexion précise la transformation qui associe chaque point à son image de l'autre côté de l'axe.

La Médiatrice approfondit la droite équidistante des extrémités d'un segment, propriété utilisée pour construire des points symétriques.