GéométrieObjet géométrique · Glossaire
Angle droit
Un angle droit est un angle de mesure exactement égale à 90 degrés, soit pi/2 radians. Deux droites ou deux vecteurs sont perpendiculaires lorsqu'ils forment un angle droit. En géométrie euclidienne, le théorème de Pythagore relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire d'un triangle possédant un angle droit. La notion d'angle droit est fondamentale en géométrie : elle définit l'orthogonalité, qui est une des propriétés les plus importantes des espaces euclidiens.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un angle droit à 90 degrés, à π/2 radians et à un quart de tour.
- Reconnaître des droites perpendiculaires et distinguer un angle droit d’un angle plat.
- Vérifier un angle droit dans un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm avec Pythagore.
En clair
Le coin d’une feuille ou d’un rectangle donne l’image d’un angle droit : deux directions s’y rencontrent sans pencher l’une vers l’autre. L’ouverture mesure exactement 90 degrés, soit un quart de tour complet.
Lorsque deux droites forment cette ouverture, elles sont perpendiculaires. Sur un dessin géométrique, un petit carré placé au sommet signale souvent l’angle droit, mais seule la mesure ou une propriété démontrée permet de l’affirmer.
Définition
Un angle droit est une ouverture de mesure exactement égale à 90 degrés. Si la lettre grecque thêta, notée θ, désigne sa mesure, alors . Cette valeur représente un quart des 360 degrés d’un tour complet.
Deux droites sécantes sont perpendiculaires lorsque l’un des angles qu’elles déterminent est droit. Elles en forment alors quatre, tous droits. Pour deux vecteurs non nuls, la perpendicularité signifie que l’angle entre leurs directions est droit ; cette relation porte aussi le nom d’orthogonalité.
Un triangle qui possède un angle droit est un triangle rectangle. En géométrie euclidienne, si les longueurs des deux côtés adjacents à l’angle droit sont a et b, et si la longueur du côté opposé est c, le théorème de Pythagore donne .
De quoi c'est fait
Un angle droit comporte un sommet, deux demi-droites issues de ce sommet et l’ouverture comprise entre elles. Le sommet fixe leur point commun ; les demi-droites fixent les deux directions ; leur écart fixe la mesure de 90 degrés. Sans sommet commun, ces deux demi-droites ne décrivent pas le même angle.
Le petit carré parfois tracé près du sommet est seulement un codage : il annonce que l’angle est droit, mais ne le définit pas. La longueur des côtés, leur orientation sur la page, la taille et la couleur du dessin ne changent pas la mesure. Le sommet et les deux directions suffisent à construire l’angle ; une mesure ou une relation démontrée permet ensuite de vérifier qu’il est droit.
Un exemple, pas à pas
On considère un triangle ABC dont les longueurs sont AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. La figure associe ces trois données au sommet A que l’on veut tester.
1. Le plus long côté est BC ; il serait donc opposé à l’angle droit si le triangle était rectangle en A.
2. On calcule les carrés des deux autres longueurs : .
3. On calcule le carré du plus long côté : . Les deux résultats sont égaux.
La réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle est rectangle en A : l’angle BAC mesure 90 degrés. Le contrôle est refaisable en mesurant cet angle avec une équerre ou un rapporteur ; on doit retrouver la même ouverture droite.
En pratique
Pour contrôler un coin dessiné, on place l’angle droit d’une équerre au sommet et l’un de ses bords sur un côté. Si l’autre côté suit exactement le second bord, l’ouverture est droite ; sinon, un rapporteur donne sa mesure.
Pour tracer une perpendiculaire à une droite, on aligne un bord de l’équerre sur cette droite, puis on trace le long du bord adjacent. Un simple dessin à l’œil convient pour une esquisse, mais pas lorsqu’une construction exacte est demandée.
Dans un triangle, la mesure directe convient lorsque le sommet est accessible. Si seules les trois longueurs sont connues, l’égalité de Pythagore permet de tester l’existence d’un angle droit sans mesurer l’ouverture.
À ne pas confondre
Angle droit et angle plat. Un angle droit mesure 90 degrés, tandis qu’un angle plat mesure 180 degrés. Deux demi-droites perpendiculaires donnent le premier ; deux demi-droites opposées donnent le second.
Droites perpendiculaires et droites parallèles. Dans un plan euclidien, des perpendiculaires se coupent en formant 90 degrés. Des parallèles distinctes gardent la même direction et ne se coupent pas : l’absence de point d’intersection tranche le cas.
Limites et pièges
Une apparence presque carrée ne suffit pas. Une ouverture de 89 ou de 91 degrés peut sembler droite sur un petit dessin, mais elle ne l’est pas. Il faut obtenir exactement 90 degrés par mesure ou par démonstration.
Le codage n’est pas une preuve indépendante. Un petit carré indique l’hypothèse ou le résultat annoncé par la figure. Si rien ne garantit ce codage, il faut mesurer l’angle ou établir une propriété, par exemple avec Pythagore dans un triangle.
Le cadre euclidien compte. La relation de Pythagore citée ici porte sur les triangles de la géométrie euclidienne. Sur une surface courbe, il ne faut pas reprendre automatiquement la même égalité ; il faut utiliser la géométrie adaptée à la surface.
Pour aller plus loin
Pour prolonger, reliez l’angle droit au produit scalaire : deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Cette formulation permet ensuite d’étudier les projections orthogonales et les distances dans un repère.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres