Heaviside Oliver

Dès 1872, Oliver Heaviside publie des recherches en physique alors qu'il s'est formé seul, après avoir quitté l'école à seize ans. Son travail de télégraphiste le place face à une question très concrète : comment décrire les signaux électriques qui parcourent des conducteurs ?

Il rend les outils plus maniables. Il ramène les vingt équations originales de Maxwell à quatre équations vectorielles et crée un calcul symbolique utile aux signaux. Sa fonction échelon représente un interrupteur idéal : zéro avant l'activation, un après.

Oliver Heaviside (1850–1925) est un physicien et mathématicien britannique spécialiste de l'électromagnétisme. Une surdité consécutive à une scarlatine le contraint à quitter l'école à seize ans. Il se forme ensuite en autodidacte tout en travaillant comme télégraphiste, puis publie ses recherches en physique dès 1872.

Son apport central consiste à donner des formes calculables aux phénomènes électriques. Il reformule les vingt équations originales de James Clerk Maxwell en quatre équations vectorielles, aujourd'hui appelées équations de Maxwell. Indépendamment et simultanément à Josiah Willard Gibbs, il développe le formalisme de l'analyse vectorielle et établit notamment les définitions modernes du produit scalaire et du produit vectoriel. Son calcul symbolique facilite le traitement des transformées de Fourier et de Laplace, utilisées en électricité et en automatique.

La fonction échelon unitaire, ou fonction de Heaviside, modélise l'activation instantanée d'un signal et simplifie les transformées de Laplace. Heaviside établit aussi la théorie mathématique des lignes de transmission au moyen des équations des télégraphistes. En 1902, il prédit des couches conductrices ionisées de la haute atmosphère capables de réfléchir les ondes radio autour de la courbure terrestre. Les couches de Kennelly-Heaviside sont détectées expérimentalement en 1925 par Edward Appleton.

Un signal idéal s'active à l'instant zéro. On note le temps par t, en seconde, et la fonction échelon par H. Les données sont : activation à t = 0 s, valeur 0 avant l'activation et valeur 1 après.

1. Pour un temps négatif, par exemple t = −2 s, on lit H(−2) = 0.
2. Pour un temps positif, par exemple t = 3 s, on lit H(3) = 1.
3. La règle s'écrit :

Le résultat est un saut d'une unité à l'instant d'activation. Le contrôle est immédiat : toute valeur de temps strictement antérieure donne 0 et toute valeur strictement postérieure donne 1. La valeur exactement à t = 0 dépend d'une convention qui doit être annoncée séparément.

Pour représenter la mise en marche idéale d'un signal, la fonction de Heaviside remplace une définition en deux morceaux par une seule écriture. On la choisit quand l'instant d'activation est connu et que la transition peut être considérée comme instantanée.

En électricité et en automatique, le calcul symbolique de Heaviside accompagne les transformées de Laplace et de Fourier. Le choix dépend du traitement recherché ; la transformée de Laplace est particulièrement adaptée à un signal déclenché à un instant donné.

Pour étudier la propagation d'un courant dans un conducteur, les équations des télégraphistes décrivent une ligne de transmission. Un modèle concentré ordinaire convient plutôt lorsque la propagation le long de la ligne n'est pas le phénomène à suivre.

Oliver Heaviside et la fonction de Heaviside. Le premier est le physicien et mathématicien ; la seconde est l'une de ses créations. Si le contexte parle d'une valeur nulle avant un instant et unitaire après, il s'agit de la fonction.

Les équations originales de Maxwell et leur forme vectorielle. Heaviside n'est pas l'auteur de la théorie de Maxwell : il en reformule les vingt équations originales sous la forme de quatre équations vectorielles. Le nom « équations de Maxwell » désigne aujourd'hui cette forme condensée.

Fonction de Heaviside et couches de Kennelly-Heaviside. La fonction décrit l'activation idéale d'un signal ; les couches sont des régions conductrices ionisées de la haute atmosphère. Une variable de temps indique la première, tandis qu'une réflexion d'ondes radio autour de la Terre renvoie aux secondes.

À l'instant du saut. La règle 0 avant et 1 après ne fixe pas H(0). Selon la convention, cette valeur peut être choisie différemment. Il faut donc la préciser lorsqu'un calcul dépend exactement de l'instant zéro.

Activation réelle ou idéale. Un dispositif réel peut mettre un temps non nul à passer d'un état à l'autre. Si cette durée influe sur le résultat, un échelon instantané masque le phénomène ; il faut alors modéliser la transition elle-même.

Une reformulation n'est pas une nouvelle théorie. Le passage de vingt équations originales à quatre équations vectorielles change le formalisme et facilite l'usage. Il ne faut pas l'interpréter comme l'abandon de l'électromagnétisme de Maxwell.

Transformée de Laplace. Elle montre pourquoi l'échelon de Heaviside est efficace pour traiter un signal qui s'active à un instant donné.

Transformée de Fourier. Elle prolonge l'étude des outils de transformation que le calcul symbolique de Heaviside contribue à rendre maniables.