équation de la chaleur

Une barre est maintenue à 0 °C à ses deux extrémités tandis que son centre est plus chaud. Avec le temps, le pic de température baisse et la chaleur se répartit vers les zones voisines : le profil devient moins contrasté.

L’équation de la chaleur traduit ce rééquilibrage point par point. À chaque position, la vitesse de variation de la température dépend de la courbure du profil autour de cette position. Les conditions initiales donnent le profil de départ ; les conditions au bord fixent ici la température des extrémités.

L’équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique. On considère un domaine spatial ouvert, noté Ω, inclus dans l’espace ℝⁿ. La fonction inconnue, notée u, associe une température à un temps strictement positif t et à une position x de Ω. Le laplacien spatial, noté Δ, additionne les dérivées secondes de u selon les directions de l’espace. Dans la forme retenue, le temps et les positions sont normalisés de sorte que le coefficient de diffusivité vaut 1.

Dans ces unités normalisées, cette égalité impose que la variation temporelle du profil soit gouvernée par sa courbure spatiale. Le problème comprend aussi deux données distinctes. Sur le bord du domaine, noté ∂Ω, la condition de Dirichlet impose u(t, x) = 0 pour tout temps positif. À l’instant initial t = 0, une fonction prescrite donne la température en chaque position de Ω. L’équation, la valeur initiale et la valeur au bord doivent être satisfaites ensemble. Sous les hypothèses usuelles de régularité du domaine et des données, ainsi que de compatibilité entre le profil initial et la valeur imposée sur le bord lorsque cette compatibilité est requise, elles posent le problème initial-au-bord.

Le problème réunit cinq éléments. Le domaine Ω décrit les positions possibles ; son bord, noté ∂Ω, porte les valeurs imposées. Le temps t indique l’instant observé. La fonction u donne la température pour chaque couple formé d’un temps et d’une position. La dérivée temporelle mesure la vitesse de changement de cette température. Le laplacien Δ mesure la courbure spatiale du profil.

L’équation relie directement la dérivée temporelle au laplacien. La condition initiale fixe u à t = 0, tandis que la condition de Dirichlet fixe u sur ∂Ω pour les temps positifs. La forme dessinée du domaine n’est pas l’équation elle-même, mais elle détermine où calculer le laplacien et où appliquer le bord. Ces données suffisent à poser le problème et à vérifier une solution candidate.

Considérons une barre repérée par une position x comprise entre 0 et π. Ses extrémités restent à 0 °C. Le temps normalisé est noté t, et la température est notée u(t, x).

Au départ, le profil vaut $u(0,x)=100\sin (x)u(0,x)=100\backslash sin(x)$ °C. Il est nul aux extrémités et atteint 100 °C au centre, où x = π/2. Nous vérifions la fonction candidate $u(t,x)=100e^{-t}\sin (x)u(t,x)=100e^\{-t\}\backslash sin(x)$.

1. Sur une barre, le laplacien est la dérivée seconde selon x. Ici, $\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }t}=-100e^{-t}\sin (x)\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}=-100e^\{-t\}\backslash sin(x)$ et $\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}=-100e^{-t}\sin (x)\backslash frac\{\backslash partial^2u\}\{\backslash partial\; x^2\}=-100e^\{-t\}\backslash sin(x)$ : l’équation est satisfaite.
2. Aux deux extrémités, sin(0) = sin(π) = 0 : la condition de Dirichlet est satisfaite.
3. À t = 0, le facteur exponentiel vaut 1 : le profil initial est retrouvé.
4. À l’instant t = ln 2, le facteur vaut 1/2. Au centre, la température vaut donc 50 °C.

La fonction candidate satisfait ainsi l’équation, le bord et la donnée initiale. Un contrôle refaisable consiste à comparer les profils aux instants 0 et ln 2 : chaque température intérieure est divisée par deux, tandis que les deux extrémités restent à 0 °C.

Pour contrôler une formule proposée, on calcule sa dérivée temporelle et son laplacien, puis on compare les deux. On vérifie ensuite séparément le profil initial et les valeurs au bord. Si l’un de ces trois contrôles échoue, la formule ne résout pas le problème posé.

Pour modéliser une barre, on observe ce qui arrive réellement à ses extrémités. Une condition de Dirichlet nulle convient si leur température est maintenue à la valeur de référence 0. Si les températures imposées sont différentes, il faut employer ces valeurs au lieu de conserver artificiellement zéro.

Pour suivre le mode sinusoïdal de l’exemple, il suffit de lire le facteur exponentiel. À l’instant ln 2, tout le profil vaut la moitié du profil initial. Cette règle ne s’applique pas telle quelle à un profil initial d’une autre forme ; il faut alors résoudre le problème correspondant.

Équation de la chaleur et équation de Poisson. L’équation de la chaleur contient une dérivée par rapport au temps et permet de décrire l’évolution d’un profil. Dans sa forme canonique stationnaire, l’équation de Poisson ne contient pas de dérivée temporelle dans son opérateur, même si ses données peuvent dépendre d’un paramètre t. Une dépendance temporelle effective, avec une dérivée de u par rapport à t non nulle, exclut la stationnarité.

Équation de la chaleur et équation des ondes. Dans leurs formes canoniques présentées ici, la première relie une dérivée temporelle d’ordre un au laplacien, tandis que la seconde emploie une dérivée temporelle d’ordre deux. Repérer l’ordre de la dérivée en t aide donc à les distinguer, mais ne suffit pas à classifier toute équation, qui peut combiner plusieurs ordres ou d’autres termes.

Condition initiale et condition aux limites. La première fixe le profil dans tout le domaine à t = 0 ; la seconde fixe des valeurs sur le bord pour les temps positifs. Dans la barre, 100 °C au centre au départ relève de l’initiale, tandis que 0 °C à une extrémité relève du bord.

L’instant 0 est un cas charnière. Dans la formulation donnée, l’équation est imposée pour t > 0, tandis que t = 0 porte la condition initiale. Il faut vérifier cette donnée séparément au lieu de la remplacer par l’équation d’évolution.

Un bord nul n’est pas automatique. La condition u = 0 signifie que la valeur est imposée sur ∂Ω. Si une extrémité de la barre n’est pas maintenue à 0 °C, le symptôme est immédiat : le modèle contredit la valeur observée au bord. Il faut modifier la condition aux limites.

L’équation seule ne détermine pas le problème complet. Deux fonctions peuvent respecter la même relation entre dérivée temporelle et laplacien tout en ayant des profils initiaux différents. Il faut conserver ensemble l’équation, la donnée initiale et la condition au bord.

Le coefficient vaut ici 1. La formule de référence relie directement la dérivée temporelle à Δu. Si un modèle place un coefficient devant le laplacien, recopier le facteur e^−t de l’exemple donne une vitesse de décroissance incohérente. Il faut recalculer ce facteur avec l’équation effectivement utilisée.

laplacien d'une fonction — Pour approfondir l’opérateur spatial qui mesure la courbure du profil de température.

série de Fourier — Pour décomposer une donnée initiale en modes sinusoïdaux dont l’évolution se calcule séparément.