AnalyseNotion · Glossaire
Propriété de la moyenne
La propriété de la moyenne pour les fonctions harmoniques affirme que la valeur d'une fonction harmonique en un point est égale à sa moyenne sur toute sphère centrée en ce point (contenue dans le domaine de définition). Cette propriété caractérise les fonctions harmoniques parmi les fonctions continues. Elle a des conséquences importantes, notamment le principe du maximum, qui dit qu'une fonction harmonique non constante ne peut atteindre son maximum à l'intérieur de son domaine.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire l'égalité entre la valeur centrale et la moyenne surfacique sur une sphère admissible.
- Vérifier l'harmonicité de u(x,y) = 3 + x² − y² par le calcul de son laplacien.
- Calculer exactement la moyenne 3 sur le cercle de rayon 2.
- Relier la propriété de la moyenne au principe du maximum sur un domaine connexe.
- Éviter les erreurs liées au bord du domaine, à un rayon isolé et aux composantes connexes.
En clair
Imaginez un cercle entièrement contenu dans une région où la température est à l'équilibre, sans source de chaleur. Relevez la température en chaque point du bord et faites-en la moyenne : vous retrouvez exactement la température au centre.
Pour une fonction harmonique, ce constat vaut autour de chaque point et pour tout rayon qui reste dans le domaine. Les valeurs hautes et basses du bord se compensent. La valeur centrale ne peut donc pas former seule un sommet plus haut que tout son voisinage.
Définition
Soit Ω un domaine ouvert de l'espace euclidien et soit u une fonction harmonique sur Ω, c'est-à-dire une fonction de classe C² sur Ω dont le laplacien Δu est nul. Choisissons un point a de Ω et un rayon r strictement positif tels que la boule fermée de centre a et de rayon r soit contenue dans Ω. Si ∂B(a,r) désigne la sphère bordant cette boule et si |∂B(a,r)| désigne son aire, alors :
Autrement dit, la valeur au centre égale la moyenne surfacique sur chaque sphère admissible. Une formule analogue vaut pour la moyenne sur la boule. Réciproquement, une fonction continue qui vérifie cette identité pour toutes les boules suffisamment petites autour de chacun de ses points est harmonique. Sur un domaine connexe, le principe du maximum en découle : si une fonction harmonique atteint un maximum en un point intérieur, elle est constante sur tout le domaine.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction u définie dans le plan par u(x,y) = 3 + x2 − y2, et le cercle de centre O = (0,0) et de rayon 2. Les données sont donc le centre O, le rayon r = 2 et une fonction définie sur tout le plan.
1. Calculons le laplacien. La dérivée seconde par rapport à x vaut 2 et celle par rapport à y vaut −2. Ainsi, Δu = 2 − 2 = 0 : la fonction est harmonique.
2. Au centre, u(0,0) = 3. Sur le cercle, un point s'écrit (2 cos θ, 2 sin θ), où l'angle θ parcourt un tour complet. La valeur au bord devient u = 3 + 4 cos(2θ). La figure montre cette oscillation autour du niveau 3.
3. Calculons la moyenne sur le cercle : . L'intégrale du cosinus sur un tour complet est nulle. La moyenne du bord est donc bien u(0,0).
4. Contrôlons les extrêmes du bord : u vaut 7 aux points (2,0) et (−2,0), puis −1 aux points (0,2) et (0,−2). La valeur centrale 3 se situe entre eux ; le maximum 7 est atteint sur le bord, conformément au principe du maximum.
En pratique
Pour vérifier une fonction candidate, calculez d'abord son laplacien. S'il n'est pas nul, la propriété harmonique de la moyenne ne s'applique pas ; une moyenne directe ou une autre identité doit alors être utilisée.
Lorsque la fonction est harmonique dans un voisinage de la boule fermée et que ses valeurs sur la sphère sont connues, leur moyenne donne immédiatement la valeur au centre, sans résoudre de nouveau l'équation de Laplace. Le rayon est libre à condition que toute la boule fermée reste dans le domaine étudié.
Si la fonction est harmonique dans une région bornée et connexe et se prolonge continûment à son bord, recherchez son maximum sur ce bord plutôt qu'aux points intérieurs : c'est le principe du maximum. Si un maximum est trouvé à l'intérieur, vérifiez si la fonction est constante ; sinon, l'harmonicité ou l'une de ses hypothèses fait défaut.
À ne pas confondre
Moyenne sphérique et moyenne d'un échantillon. La propriété porte sur tous les points de la sphère, avec la mesure de surface, et non sur quelques points choisis. Dans l'exemple, les quatre points cardinaux ont par hasard la même moyenne 3 ; ce contrôle fini ne suffit pas à établir la propriété générale.
Fonction harmonique et fonction sous-harmonique. La première vérifie une égalité entre sa valeur centrale et la moyenne du bord. Pour une fonction sous-harmonique, la valeur centrale est au plus égale à cette moyenne. L'égalité pour chaque petite sphère, et non la seule inégalité, tranche entre les deux notions.
Limites et pièges
Sphère qui sort du domaine. L'identité n'est garantie que si la boule fermée est contenue dans le domaine de définition. Près du bord, un rayon trop grand rend une partie de la sphère inadmissible ; il faut réduire le rayon ou disposer d'un prolongement justifié de la fonction.
Un seul rayon ne caractérise pas toujours l'harmonicité. Vérifier l'égalité sur une sphère isolée peut résulter d'une compensation fortuite. Pour conclure à partir de la propriété de la moyenne, il faut une fonction continue et l'identité sur toutes les boules suffisamment petites autour de chaque point.
Domaine non connexe. Le principe fort du maximum s'applique composante connexe par composante. Une fonction peut être constante sur une composante où elle atteint son maximum global et varier sur une autre ; elle n'est alors pas constante sur tout le domaine.
Maximum local et point selle. Un gradient nul à l'intérieur ne signale pas nécessairement un maximum. Dans l'exemple, le centre O a la valeur 3, supérieure à certaines valeurs voisines et inférieure à d'autres : c'est un point selle, compatible avec l'harmonicité.
Pour aller plus loin
fonction harmonique — Relier la propriété de la moyenne à l'annulation du laplacien et aux autres traits caractéristiques de ces fonctions.
Sous-harmonique (fonction) — Étudier la version avec inégalité et voir ce que devient la comparaison entre centre et moyenne du bord.
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