fonction sousharmonique

Imaginez un relief et choisissez un point, puis un petit cercle autour de lui. La hauteur au point central ne doit pas dépasser la hauteur moyenne relevée sur le cercle. Une fonction sous-harmonique respecte cette règle partout, à toute échelle assez petite.

Cette contrainte autorise les creux, mais interdit un sommet isolé à l'intérieur du domaine. Pour le relief donné par f(x, y) = x² + y², le point (1, 0) est à la hauteur 1, tandis que le cercle de rayon 1 centré en ce point a pour hauteur moyenne 2.

Soit U un ouvert du plan ℝ² et soit f une fonction réelle continue sur U. Pour un point a de U, on choisit un rayon positif r assez petit pour que le cercle de centre a et de rayon r reste dans U. En identifiant le plan au plan complexe, le point du cercle d'angle θ s'écrit a + re^iθ. La fonction f est sous-harmonique sur U lorsque, pour chaque a, il existe un rayon r₀ positif tel que tout rayon r compris strictement entre 0 et r₀ vérifie la propriété de sous-moyenne :

Le membre de droite est la moyenne des valeurs de f sur le cercle. Une fonction harmonique réalise l'égalité pour tous les cercles admissibles ; une fonction sous-harmonique demande seulement que la valeur centrale ne soit pas supérieure à cette moyenne. Sur chaque composante connexe de U, le principe du maximum exclut un maximum intérieur, même local, sauf si f est constante sur cette composante. Cette formulation adopte la convention continue donnée par la définition de référence.

Cinq éléments font fonctionner la définition. Le domaine U est un ouvert du plan : autour de chacun de ses points, un petit cercle peut être tracé. La fonction f associe un nombre réel à chaque point de U et reste continue. Le centre a est le point où la valeur est testée. Le rayon r doit être assez petit pour garder le cercle dans U. La moyenne circulaire rassemble enfin toutes les valeurs prises sur ce cercle.

Le domaine détermine donc quels rayons sont admissibles, puis le centre et le rayon déterminent les valeurs qui entrent dans la moyenne. La comparaison entre cette moyenne et f(a) décide de la sous-harmonicité. La couleur d'un graphe, son échelle et sa manière d'être tracé ne font pas partie de la définition. Ces cinq données suffisent à effectuer le test de sous-moyenne en un point.

Prenons le plan entier U = ℝ² et la fonction f définie par f(x, y) = x² + y². Le centre choisi est a = (1, 0) et le rayon vaut r = 1. Un point du cercle est repéré par un angle θ compris entre 0 et 2π.

1. Au centre, la valeur est f(1, 0) = 1.
2. Sur le cercle, le point d'angle θ a pour coordonnées (1 + cos θ, sin θ), donc :

3. La moyenne de cos θ sur un tour complet vaut 0. La moyenne de f sur le cercle vaut donc exactement 2.
4. La comparaison donne 1 ≤ 2 : la propriété de sous-moyenne est vérifiée pour ce centre et ce rayon.

Le contrôle général refait le même calcul avec un centre a = (α, β) et un rayon positif r : la moyenne circulaire vaut f(a) + r². Elle est toujours supérieure ou égale à f(a). Ainsi, f est sous-harmonique sur tout ℝ². La figure matérialise le test particulier : valeur centrale 1, moyenne circulaire 2.

Pour tester une fonction régulière, on peut calculer ses moyennes sur de petits cercles et les comparer à la valeur centrale. Si l'égalité apparaît partout, la piste harmonique est plus précise ; si seule l'inégalité dans le bon sens demeure, la sous-harmonicité est le cadre adapté.

En théorie du potentiel, la propriété de sous-moyenne sert à contrôler une fonction par ses valeurs près du bord. Le geste utile consiste à chercher un éventuel maximum intérieur : sa présence impose de vérifier si la fonction est constante sur la composante connexe considérée.

En analyse complexe, les fonctions sous-harmoniques donnent une version inégalitaire du comportement des fonctions harmoniques. On les choisit lorsqu'une moyenne exacte n'est pas disponible, mais qu'une borne par la moyenne suffit pour obtenir un contrôle de maximum.

Fonction harmonique. Sa valeur centrale est exactement égale à la moyenne sur chaque cercle admissible. Pour f(x, y) = x² + y², la moyenne au rayon 1 autour de (1, 0) vaut 2 et non 1 : f est sous-harmonique, mais pas harmonique.

Fonction superharmonique. Le sens de l'inégalité est inversé : la valeur centrale est supérieure ou égale à la moyenne circulaire. La fonction −f donnée par −x² − y² est superharmonique ; au même centre et au même rayon, sa valeur −1 est supérieure à sa moyenne −2.

Un seul cercle ne suffit pas. Vérifier 1 ≤ 2 autour de (1, 0) contrôle seulement ce cas. La définition exige la comparaison en chaque point et pour tout rayon strictement compris entre 0 et un seuil local r₀. Il faut donc un argument général, comme la moyenne f(a) + r² de l'exemple.

Le cercle doit rester dans le domaine. Près du bord de U, un grand rayon peut faire sortir des points du domaine, où f n'est pas définie. Le symptôme est une expression f(a + re^iθ) impossible à évaluer pour certains angles ; on réduit alors r en dessous d'un seuil admissible.

La constance se lit composante par composante. Si U n'est pas connexe, un maximum intérieur n'oblige pas f à prendre la même constante sur toutes ses composantes. Le principe du maximum s'applique à la composante connexe contenant le point considéré.

Les conventions de régularité varient. La définition de référence exige que f soit réelle et continue. Des traitements plus généraux admettent des fonctions semi-continues supérieurement, parfois avec la valeur −∞. Avant d'utiliser un théorème, il faut vérifier quelle convention et quelles valeurs sont autorisées.

La fiche fonction harmonique approfondit le cas d'égalité dans la propriété de moyenne et permet de mesurer précisément ce que relâche l'inégalité sous-harmonique.

Le laplacien d'une fonction fournit, pour les fonctions deux fois dérivables, un critère différentiel relié à la courbure locale et à la propriété de sous-moyenne.