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Harnack (inégalité de)
L'inégalité de Harnack exprime la rigidité des fonctions harmoniques positives : leurs valeurs restent comparables sur tout compact intérieur et, sur une boule concentrique de rayon strictement inférieur, le rapport du maximum au minimum est borné par une constante géométrique. Le théorème de Harnack affirme que, sur un domaine connexe, une suite croissante de fonctions harmoniques converge soit vers l'infini partout, soit vers une fonction harmonique, uniformément sur les compacts.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses de positivité, d'harmonicité et de compacité intérieure.
- Lire la comparaison entre maximum et minimum sur une boule intérieure.
- Refaire un exemple exact avec la fonction u(x,y) = 2 + x.
- Distinguer l'inégalité de l'alternative de convergence du théorème de Harnack.
En clair
Imaginez une fonction harmonique positive dessinée au-dessus d'un disque. À l'intérieur d'un disque plus petit, son relief ne peut pas former un pic isolé tout en restant presque nul juste à côté. L'inégalité de Harnack traduit cette rigidité : la plus grande valeur et la plus petite restent comparables.
Le théorème de Harnack décrit une autre rigidité. Si de telles fonctions augmentent terme après terme sur un domaine connexe, leur suite ne peut pas se comporter de deux façons différentes selon les régions : elle diverge partout, ou elle converge vers une fonction encore harmonique.
Définition
L'inégalité de Harnack est une estimation pour les fonctions harmoniques strictement positives. On note u une telle fonction sur une boule de rayon R et l'on considère, au même centre, une boule plus petite de rayon r, avec 0 < r < R. Il existe une constante positive C, qui dépend de la géométrie — notamment de la dimension et du rapport r/R — mais pas de la fonction choisie. Sur la petite boule, la borne s'écrit :
Autrement dit, connaître une valeur basse de la fonction contrôle toutes les valeurs hautes sur un compact qui reste à distance du bord. Le théorème de Harnack concerne quant à lui une suite croissante de fonctions harmoniques sur un domaine connexe. Une seule alternative est possible : la suite tend vers l'infini en tout point, ou elle converge vers une fonction harmonique, uniformément sur chaque compact du domaine.
Le principe
Soit u une fonction harmonique positive sur une boule B(0,R). Si la boule concentrique B(0,r) vérifie 0 < r < R, alors une constante géométrique C existe et impose .
Si une suite croissante de fonctions harmoniques est définie sur un domaine connexe, alors elle tend vers l'infini partout, ou bien elle converge uniformément sur les compacts vers une fonction harmonique.
Quand l'utiliser
Pour l'inégalité, la fonction doit être harmonique et positive sur toute la grande boule. La région où l'on compare ses valeurs doit rester strictement à l'intérieur : le rayon r est inférieur au rayon R. La constante dépend de cette géométrie, pas de la fonction.
La fonction u(x,y) = x sur le disque unité fournit un contre-cas concret : elle est harmonique, mais change de signe. Son infimum est négatif, si bien qu'un rapport positif maximum/minimum ne fournit plus la comparaison annoncée.
Pour le théorème de convergence, les fonctions sont harmoniques sur un même domaine connexe et la suite est croissante en chaque point. Sans connexité, deux composantes indépendantes peuvent suivre les deux branches différentes de l'alternative.
Un exemple, pas à pas
Prenons le disque unité et la fonction u(x,y) = 2 + x. Cette fonction est harmonique et reste positive sur tout le disque. Nous comparons ses valeurs sur le disque fermé concentrique de rayon 1/2.
Données. Le grand rayon vaut R = 1. Le petit rayon vaut r = 1/2. Sur le petit disque, la coordonnée x varie de −1/2 à 1/2.
1. La valeur minimale est atteinte lorsque x = −1/2 : u = 2 − 1/2 = 3/2.
2. La valeur maximale est atteinte lorsque x = 1/2 : u = 2 + 1/2 = 5/2.
3. Leur rapport vaut .
2. La valeur maximale est atteinte lorsque x = 1/2 : u = 2 + 1/2 = 5/2.
3. Leur rapport vaut .
Le contrôle est refaisable sans approximation : 3/2 × 5/3 = 5/2. La figure matérialise les deux disques et les points où les valeurs extrêmes sont atteintes. Dans cet exemple, le rapport 5/3 reste bien borné par une constante qui ne dépend que des deux rayons et de la dimension.
En pratique
Pour contrôler une fonction harmonique positive à l'intérieur d'une boule, on choisit d'abord un compact qui reste à distance du bord. L'inégalité de Harnack transforme alors une borne basse en borne haute sur ce compact.
Pour étudier une suite croissante de fonctions harmoniques, le théorème évite une analyse point par point dispersée. Sur un domaine connexe, il suffit de déterminer laquelle des deux issues se produit : divergence partout ou limite harmonique.
Si la fonction change de signe, le rapport maximum/minimum n'est pas le bon outil. Il faut alors employer une estimation adaptée aux fonctions harmoniques signées, au lieu d'appliquer mécaniquement l'inégalité positive.
À ne pas confondre
Avec le principe du maximum. Le principe du maximum situe les valeurs extrêmes d'une fonction harmonique par rapport au bord. L'inégalité de Harnack compare quantitativement les valeurs d'une fonction positive sur un compact intérieur. Dans l'exemple u(x,y) = 2 + x, chercher l'extrême sur le grand disque et comparer max/min sur le petit disque sont deux questions distinctes.
Avec le théorème de convergence uniforme usuel. Le théorème de Harnack ne suppose pas d'emblée une convergence uniforme. La croissance, l'harmonicité et la connexité conduisent à l'alternative, et l'uniformité sur les compacts apparaît dans la branche où la limite est finie.
Limites et pièges
Positivité perdue. Si u prend des valeurs positives et négatives, le minimum peut être nul ou négatif et le rapport max/min cesse d'exprimer un contrôle positif. Il faut vérifier le signe avant d'appliquer l'inégalité.
Compact collé au bord. La condition charnière est r < R. Lorsque r se rapproche de R, la constante géométrique se dégrade ; prendre r = R supprime précisément la marge intérieure requise.
Domaine non connexe. Une suite peut tendre vers l'infini sur une composante et converger vers une fonction harmonique sur une autre. L'alternative globale du théorème exige donc la connexité.
Suite non croissante. Une oscillation entre plusieurs fonctions harmoniques ne relève pas du théorème énoncé. Il faut d'abord établir la croissance terme à terme ou choisir un autre résultat de convergence.
Pour aller plus loin
La fiche fonction harmonique précise la classe de fonctions à laquelle s'appliquent l'inégalité et le théorème de Harnack.
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