Convexe conjuguée (fonction)

Imaginez une droite placée sous le graphe d'une fonction. Pour chaque inclinaison choisie, on cherche jusqu'où cette droite peut être remontée sans franchir le graphe. L'opposé de sa hauteur à l'origine donne alors une nouvelle valeur.

La conjuguée convexe associe cette valeur à chaque inclinaison. Elle remplace ainsi la variable de départ par une pente. Cette transformation fait apparaître une fonction convexe, même lorsque la fonction initiale ne l'est pas.

Soit une fonction f à valeurs réelles étendues, définie sur la droite réelle. Sa conjuguée convexe, notée f^*, associe à chaque nombre réel y le supremum, lorsque la variable réelle x parcourt le domaine de f, de l'écart entre xy et f(x).

Le résultat peut valoir +∞. Comme f^* est le supremum de fonctions affines de y, elle est convexe et semi-continue inférieurement, même si f ne possède pas ces propriétés. En dimension supérieure, le produit xy est remplacé par le produit scalaire entre x et y. La conjuguée de f^* est la biconjuguée f^**. Lorsque f est propre, f^** est son enveloppe convexe semi-continue inférieurement ; en particulier, f^** = f lorsque f est propre, convexe et semi-continue inférieurement.

La construction réunit cinq éléments. La variable x décrit l'entrée de la fonction initiale f. Le nombre y fixe une pente. Le produit xy fournit alors une fonction affine de x, tandis que l'écart xy − f(x) mesure l'avantage associé à cette pente. Enfin, le supremum retient la borne supérieure des valeurs de cet écart, même si elle n'est pas atteinte.

Le score dépend donc à la fois de y et des valeurs de f, puis l'optimisation sur x transforme ce score en une valeur f^*(y). Faire varier y construit toute la conjuguée. Le dessin du graphe n'appartient pas à la définition : seules la fonction, la dualité entre x et y et l'opération de supremum sont nécessaires. Pour f(x) = x²/2 et y = 2, la droite affine correspondante touche la parabole en x = 2.

On prend la fonction f définie sur la droite réelle par f(x) = x²/2 et l'on cherche sa conjuguée à la pente y = 2.
Données : la variable x est réelle ; f(x) = x²/2 ; y = 2.

1. On remplace y par 2 dans l'écart xy − f(x).

2. On complète le carré pour localiser le maximum.

3. Le carré est toujours positif ou nul. L'expression atteint donc exactement 2 lorsque x = 2. Ainsi, f^*(2) = 2.

Le même calcul avec une pente réelle y donne f^*(y) = y²/2. Le contrôle consiste à remplacer x par y : l'écart vaut alors y²/2, et compléter le carré prouve qu'aucune autre valeur de x ne donne davantage.

En optimisation convexe, la conjuguée fait passer d'un problème formulé avec une variable x à un problème dual formulé avec une pente y. On choisit cette voie lorsque le supremum définissant f^* se calcule plus simplement que le problème initial.

Pour vérifier qu'une fonction convexe fermée a été correctement reconstruite, on calcule sa biconjuguée. Si une fonction propre n'est pas convexe et semi-continue inférieurement, la biconjuguée fournit plutôt son enveloppe convexe semi-continue inférieurement.

En mécanique théorique, le changement entre descriptions duales fait intervenir cette transformation. Lorsque les hypothèses usuelles de différentiabilité ne sont pas disponibles, la version de Legendre-Fenchel reste adaptée parce qu'elle repose sur un supremum et non sur l'inversion d'une dérivée.

Avec la fonction réciproque. La réciproque échange entrées et sorties et exige une fonction bijective lorsque les ensembles de départ et d'arrivée sont fixés ; si l'arrivée est restreinte à l'image, l'injectivité suffit. La conjuguée échange une variable avec une pente au moyen d'un supremum. Pour f(x) = x²/2 sur toute la droite réelle, aucune réciproque globale n'existe, mais la conjuguée existe.

Avec la transformée de Legendre classique. Celle-ci est souvent calculée en résolvant y = f′(x), ce qui suppose assez de régularité et une inversion possible. La transformée de Legendre-Fenchel est définie directement par un supremum. Pour une fonction non différentiable, cette dernière demeure la formulation pertinente.

Le supremum peut être infini. Si l'écart xy − f(x) n'est pas majoré quand x varie, alors f^*(y) = +∞. Il faut donc accepter les valeurs réelles étendues au lieu de chercher un maximum fini inexistant.

Le supremum n'est pas toujours atteint. Une suite de valeurs peut s'approcher de f^*(y) sans qu'aucun x ne réalise cette valeur. Il faut parler de supremum, et non automatiquement de maximum.

La biconjuguée ne restitue pas toujours f. Si f est propre mais n'est pas à la fois convexe et semi-continue inférieurement, f^** restitue son enveloppe ayant ces deux propriétés. Il faut comparer f et f^** avant de conclure à une égalité.

Le produit xy dépend du cadre. Sur la droite réelle, il s'agit d'un produit ordinaire. En dimension supérieure, il faut préciser l'appariement dual utilisé ; remplacer silencieusement cet appariement par une multiplication rendrait la formule ambiguë.

La biconjugaison conduit au théorème de Fenchel-Moreau : elle caractérise les fonctions qui coïncident avec leur enveloppe convexe semi-continue inférieurement. L'inégalité de Fenchel relie aussi directement une fonction et sa conjuguée ; le cas d'égalité révèle les pentes qui soutiennent le graphe. Ces deux prolongements expliquent le rôle de la conjugaison dans la dualité de Fenchel.