Orthogonales (droites)

Imaginez deux traits qui se croisent comme les bords voisins d'une feuille rectangulaire. Ils découpent alors quatre angles droits : dans le plan, ces droites sont perpendiculaires, donc orthogonales.

L'idée essentielle porte toutefois sur leurs directions. Deux directions sont orthogonales lorsqu'elles se rencontreraient à angle droit. Cette définition reste utile dans l'espace, même si les droites sont décalées et ne se coupent pas.

Une droite possède des vecteurs directeurs : ce sont les vecteurs non nuls parallèles à cette droite. Soient deux droites de vecteurs directeurs respectifs u et v. Elles sont orthogonales lorsque le produit scalaire de ces directions est nul. Ce critère ne dépend pas des représentants choisis, car remplacer u ou v par un multiple non nul conserve la nullité du produit.

Dans un repère orthonormé du plan, si u a pour coordonnées (a, b) et v pour coordonnées (c, d), le critère s'écrit : $u\cdot v=ac+bd=0u\backslash cdot\; v=ac+bd=0$. Deux droites orthogonales du plan ont des directions non parallèles ; elles se coupent donc et sont perpendiculaires. Réciproquement, deux droites perpendiculaires sont orthogonales.

Dans l'espace de dimension trois, l'orthogonalité des directions n'impose pas que les droites se rencontrent ni qu'elles soient dans un même plan. Pour des sous-espaces vectoriels, l'extension est plus exigeante : chaque vecteur de l'un doit avoir un produit scalaire nul avec chaque vecteur de l'autre. Dans un espace hermitien, le produit scalaire hermitien joue le même rôle.

Dans un repère orthonormé, deux droites passent par le point O. La première a pour vecteur directeur u = (2, 1). La seconde a pour vecteur directeur v = (−1, 2). La figure matérialise ces deux directions et l'angle qu'elles forment.

1. On multiplie les coordonnées de même rang : 2 × (−1) = −2 et 1 × 2 = 2.

2. On additionne ces deux produits pour calculer le produit scalaire.

3. Le produit scalaire étant nul, les deux directions sont orthogonales. Comme les droites passent toutes deux par O, elles se coupent : elles sont donc aussi perpendiculaires.

Le contrôle se refait en échangeant les deux vecteurs : (−1) × 2 + 2 × 1 = 0. Le verdict ne change pas.

Sur une figure plane, une équerre permet de tester l'angle au point d'intersection. Si ses deux bords coïncident avec les droites, elles sont perpendiculaires ; si les droites ne sont pas déjà tracées, l'équerre permet aussi de construire la seconde direction.

Avec des coordonnées, le produit scalaire est préférable à une estimation visuelle. On choisit un vecteur directeur non nul sur chaque droite, puis on vérifie si leur produit scalaire est nul. Cette méthode évite qu'un dessin imprécis fasse prendre un angle presque droit pour un angle droit.

Dans l'espace, le même calcul teste les directions, mais il ne suffit pas pour conclure à la perpendicularité. Il faut aussi vérifier que les droites ont un point commun ; sinon, on les qualifie d'orthogonales sans les dire perpendiculaires.

Orthogonales et perpendiculaires. L'orthogonalité teste d'abord les directions ; la perpendicularité demande en plus une intersection. Dans le plan, deux droites orthogonales sont nécessairement perpendiculaires. Dans l'espace, les droites d'équations (t, 0, 0) et (0, s, 1), où t et s sont des nombres réels, ont des directions orthogonales mais aucun point commun.

Sécantes et orthogonales. Deux droites sécantes ont seulement un point commun. Elles ne sont orthogonales que si leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul. Deux droites qui se croisent sous un angle différent de 90° sont sécantes, mais pas orthogonales.

Un vecteur nul ne dirige aucune droite. Son produit scalaire avec tout vecteur vaut zéro, mais ce calcul ne prouve aucune orthogonalité entre droites. Il faut choisir, sur chacune, un vecteur directeur non nul.

En dimension trois, zéro ne prouve pas une intersection. Pour les droites (t, 0, 0) et (0, s, 1), les directions (1, 0, 0) et (0, 1, 0) ont un produit scalaire nul. Pourtant, la troisième coordonnée vaut toujours 0 sur la première et 1 sur la seconde : elles ne se rencontrent pas.

L'orthogonalité de deux sous-espaces ne se vérifie pas sur un seul couple choisi au hasard. Il faut contrôler tous les vecteurs, ou de façon équivalente tous les couples formés à partir de bases de ces sous-espaces. Un seul produit nul ne suffit pas en général.

Le repère doit être pris en compte. La somme des produits coordonnée par coordonnée donne le produit scalaire usuel seulement dans un repère orthonormé. Dans un autre repère, il faut employer l'expression du produit scalaire adaptée à ce repère.

Le produit scalaire donne le critère de calcul qui détecte l'orthogonalité de deux directions.

L'article La lente émergence des espaces euclidiens replace l'orthogonalité dans le cadre plus large des espaces euclidiens.