GéométrieThéorème · Glossaire
Rang constant (théorème du)
Le théorème du rang constant affirme que si une application de classe C¹ entre deux variétés a une différentielle de rang constant r au voisinage d’un point, alors des coordonnées locales à la source et au but la ramènent à une projection sur r coordonnées suivie d’une inclusion. Un rang stable permet ainsi de décrire exactement le comportement local de l’application.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’hypothèse de rang constant dans un voisinage.
- Lire la forme canonique obtenue après deux changements de coordonnées locaux.
- Vérifier le théorème sur l’application F(x,y,z)=(x,y+z²).
- Distinguer ce résultat de l’inversion locale et des fonctions implicites.
En clair
Imaginez une machine qui transforme trois réglages en deux résultats. Près d’un point, certains déplacements des réglages modifient les résultats, tandis que d’autres restent invisibles. Le rang compte le nombre de directions indépendantes qui ont un effet.
Si ce nombre ne change pas dans toute une petite zone, le théorème du rang constant garantit que des coordonnées bien choisies simplifient la machine. Localement, elle conserve les r coordonnées utiles et oublie les autres.
Définition
Soit f une application de classe C1 d’un ouvert de ℝn vers un ouvert de ℝm. En chaque point x, sa différentielle, notée dfx, est l’application linéaire qui décrit la variation de f au premier ordre. Son rang est le nombre de directions de sortie indépendantes produites par cette approximation linéaire.
Supposons que ce rang soit égal au même entier r dans un voisinage d’un point a. Le théorème affirme qu’il existe des coordonnées locales φ autour de a et ψ autour de f(a) dans lesquelles l’application prend la forme standard suivante :
Cette écriture vaut seulement dans des voisinages adaptés. Elle montre que f y est, à changements de coordonnées près, une projection sur r coordonnées suivie de l’inclusion canonique dans ℝm. Les cas r = m et r = n correspondent respectivement aux modèles locaux d’une submersion et d’une immersion.
Le principe
Si une application f de classe C1, définie entre des ouverts de ℝn et ℝm, possède une différentielle de rang constant r au voisinage d’un point a, alors des changements de coordonnées locaux ramènent f à :
Autrement dit, les r premières coordonnées portent toute la variation locale ; les autres directions n’affectent pas la sortie dans ces coordonnées.
Quand l'utiliser
Le théorème s’applique localement à une application de classe C1 entre des ouverts euclidiens, ou entre des variétés différentielles exprimées dans des cartes. Il faut vérifier que la différentielle existe et varie continûment, puis que son rang garde la même valeur r sur tout un voisinage du point étudié. Une égalité du rang au seul point ne suffit pas.
Par exemple, pour la fonction réelle g(t) = t2, la dérivée a le rang 0 en t = 0 mais le rang 1 dès que t ≠ 0. Le rang n’est donc constant dans aucun voisinage de 0 : on doit étudier ce point critique par d’autres outils, et non invoquer ce théorème.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’application F de ℝ3 vers ℝ2 définie par . Les données sont les trois coordonnées réelles x, y, z et les deux composantes de sortie.
1. La matrice de la différentielle est :
2. Les deux premières colonnes forment la matrice identité de taille 2. Elles sont indépendantes pour toute valeur de z ; le rang vaut donc exactement 2 partout.
3. Introduisons les coordonnées . Leur transformation inverse est , donc le changement est bien réversible.
4. Dans ces coordonnées, F devient exactement . Le contrôle se refait en remplaçant x par u, y par v − w2 et z par w : la seconde sortie vaut bien v. La figure matérialise ce redressement des fibres.
En pratique
Pour décrire les ensembles de niveau, on vérifie d’abord que le rang reste constant. Le modèle local indique alors que fixer les r coordonnées de sortie laisse n − r paramètres libres. Dans l’exemple, une sortie (a, b) impose x = a et y = b − z2, tandis que z reste libre.
Pour reconnaître une submersion, on cherche un rang égal à la dimension de l’espace d’arrivée. Pour reconnaître une immersion, on cherche plutôt un rang égal à la dimension de l’espace de départ. Si le rang varie près du point, ces modèles réguliers ne conviennent plus et une analyse des points critiques est nécessaire.
À ne pas confondre
Avec le théorème d’inversion locale. Celui-ci exige, entre espaces de même dimension, une différentielle inversible : son rang est maximal. Il conclut que l’application elle-même possède un inverse local. Le théorème du rang constant accepte un rang plus petit ; dans l’exemple de ℝ3 vers ℝ2, F ne peut pas être localement bijective.
Avec le théorème des fonctions implicites. Ce dernier résout localement certaines variables en fonction des autres à partir d’une équation et d’une dérivée partielle inversible. Le rang constant décrit plutôt la forme locale d’une application entière. Les résultats sont liés, mais leurs données et leurs conclusions ne coïncident pas.
Limites et pièges
Rang vérifié en un seul point. Le symptôme est une différentielle de rang r au point choisi, sans contrôle autour. La fonction t ↦ t2 à 0 montre le défaut : son rang passe de 0 à 1. Il faut examiner un voisinage entier.
Conclusion rendue globale. Les changements de coordonnées sont garantis près d’un point, pas nécessairement sur tout le domaine. Des cartes locales obtenues en différents points peuvent ne pas se recoller en une unique coordonnée globale. Il faut annoncer explicitement le voisinage considéré.
Forme « projection » prise au pied de la lettre. Lorsque r est inférieur à la dimension d’arrivée, la forme complète ajoute des coordonnées de sortie nulles. Lorsque r est inférieur à la dimension de départ, elle oublie aussi des coordonnées d’entrée. Il faut conserver les deux changements de coordonnées et les dimensions n, m et r.
Pour aller plus loin
La Différentielle précise l’application linéaire dont le rang commande toute la forme locale.
Une Submersion réalise le cas où le rang atteint la dimension de l’espace d’arrivée.
Une Immersion réalise le cas où le rang atteint la dimension de l’espace de départ.
La fonction implicite prolonge l’étude locale en montrant quand une équation permet de résoudre certaines variables.
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