AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction implicite
Une fonction implicite est une fonction φ dont les valeurs sont déterminées localement par une relation F(x, y) = 0 : près d'un point (a, b), on a y = φ(x) et F(x, φ(x)) = 0, même si y n'est pas isolé dans l'équation. Si F est continûment différentiable près de (a, b), que F(a, b) = 0 et que sa dérivée partielle par rapport à y n'y est pas nulle, le théorème des fonctions implicites garantit localement l'existence et l'unicité de φ, sa régularité et permet de la dériver sans l'expliciter.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une relation implicite d'une fonction explicite.
- Identifier les hypothèses locales du théorème des fonctions implicites.
- Calculer et contrôler la pente −3/4 sur le cercle unité.
En clair
Sur un cercle, choisir une position horizontale ne donne pas toujours une seule hauteur : une verticale coupe souvent le cercle en deux points. Près d'un point de la moitié supérieure, en revanche, la hauteur varie bien avec la position horizontale.
La fonction est dite implicite parce que l'équation reliant les deux coordonnées la détermine localement, sans isoler d'abord la hauteur. Le mot « localement » est essentiel : une même relation peut donner plusieurs branches à l'échelle de toute la figure.
Définition
Soit F une fonction de deux variables réelles. Une relation F(x, y) = 0 définit implicitement une fonction φ lorsque, pour chaque valeur de x dans un voisinage considéré, il existe une unique valeur y = φ(x) qui satisfait la relation. On a alors . Cette description est locale : une relation peut posséder plusieurs branches, chacune donnant une fonction sur son propre voisinage.
Au voisinage d'un point (a, b) tel que F(a, b) = 0, le théorème des fonctions implicites s'applique notamment lorsque F est continûment différentiable et que sa dérivée partielle par rapport à y ne s'annule pas en ce point. Il garantit alors une unique fonction φ continûment différentiable, avec φ(a) = b. Sa dérivée se calcule sans isoler y : .
Par exemple, x² + y² = 1 donne les deux branches explicites y = √(1 − x²) et y = −√(1 − x²). Avec trois variables, x² + y² + ln z = 0 détermine z = exp(−x² − y²).
De quoi c'est fait
Une définition implicite locale repose sur quatre éléments. La relation F(x, y) = 0 sélectionne les couples admissibles. Le point de base (a, b) appartient à cet ensemble. La variable x joue le rôle d'entrée, tandis que y est la variable que l'on veut faire dépendre de x. Enfin, un voisinage limite l'affirmation à la zone où une seule branche est suivie.
La relation et le point doivent être compatibles, donc F(a, b) = 0. La dépendance de y envers x est assurée localement lorsque la variation de F selon y ne s'annule pas au point de base. Ces données suffisent à identifier une branche locale et, sous les hypothèses de régularité, à calculer sa dérivée. Le tracé ou l'échelle du dessin ne définissent pas la fonction.
Un exemple, pas à pas
Considérons le cercle d'équation x² + y² = 1 et le point (3/5, 4/5). Les données sont F(x, y) = x² + y² − 1, x = 3/5 et y = 4/5.
1. Vérifions le point : (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1.
2. La dérivée partielle de F par rapport à y vaut 2y. Au point choisi, elle vaut 8/5, donc elle n'est pas nulle.
3. Une unique branche y = φ(x) existe donc près de ce point.
4. Dérivons la relation le long de cette branche : .
5. Au point choisi, .
2. La dérivée partielle de F par rapport à y vaut 2y. Au point choisi, elle vaut 8/5, donc elle n'est pas nulle.
3. Une unique branche y = φ(x) existe donc près de ce point.
4. Dérivons la relation le long de cette branche : .
5. Au point choisi, .
La pente de la branche supérieure est donc exactement −3/4. Un contrôle direct consiste à utiliser φ(x) = √(1 − x²), puis à substituer x = 3/5 : sa dérivée donne aussi −3/4. La figure rend visibles les deux branches globales et le voisinage local retenu.
En pratique
Pour calculer une pente sur une courbe donnée par une relation, on dérive directement cette relation. Cette voie est préférable à l'isolement de y lorsque celui-ci est difficile ou produit plusieurs branches.
Pour suivre numériquement une branche, on part d'un couple connu qui satisfait l'équation, puis on cherche la solution voisine après une petite variation de l'entrée. Il faut changer de stratégie si la dérivée partielle utilisée devient nulle ou presque nulle.
Pour décrire une surface, une contrainte comme x² + y² + ln z = 0 peut être conservée telle quelle. On explicite plutôt z lorsque la formule exp(−x² − y²) simplifie le calcul ou le tracé.
À ne pas confondre
Une fonction explicite donne directement la sortie en fonction de l'entrée, par exemple y = √(1 − x²). Une relation implicite impose plutôt une condition comme x² + y² = 1. Le test est immédiat : y est-il isolé et une seule valeur est-elle choisie ?
Une courbe implicite est l'ensemble des couples qui satisfont F(x, y) = 0 ; une fonction implicite est une branche de cet ensemble lue localement comme y = φ(x). Le cercle entier est une courbe implicite, mais il n'est pas le graphe d'une fonction de x, car une même abscisse peut donner deux ordonnées.
La dérivation implicite est une technique de calcul appliquée à une relation ; elle n'est pas la fonction elle-même. Sur le cercle, la branche supérieure est la fonction implicite, tandis que l'opération menant à y′ = −x/y est la dérivation implicite.
Limites et pièges
Plusieurs branches. L'équation x² + y² = 1 donne deux valeurs de y lorsque −1 < x < 1. Il faut choisir un point et un voisinage, puis indiquer la branche suivie ; la relation entière ne définit pas une fonction globale de x.
Dérivée partielle nulle. Aux points (−1, 0) et (1, 0) du cercle, la dérivée partielle de F par rapport à y vaut 0. Le théorème ne permet alors pas d'exprimer localement y comme fonction différentiable de x ; on peut plutôt exprimer x en fonction de y, car la dérivée partielle par rapport à x est non nulle.
Condition suffisante, pas verdict d'impossibilité. Si la dérivée partielle exigée s'annule, l'existence d'une fonction implicite n'est pas automatiquement exclue. Pour la relation y³ − x³ = 0 au point (0, 0), la fonction y = x existe, bien que la dérivée partielle par rapport à y soit nulle au point. Il faut alors analyser la relation autrement.
Pour aller plus loin
La Dérivée partielle précise comment mesurer la variation de F selon une seule variable, condition centrale du théorème des fonctions implicites.
Dans plusieurs dimensions, le même principe remplace la condition sur une dérivée partielle par l'inversibilité de la matrice des dérivées relatives aux variables que l'on souhaite déterminer. On obtient alors localement plusieurs sorties comme fonctions des autres variables.
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