algorithme de Sluse

Imaginez une courbe dessinée sur un repère et un point choisi sur cette courbe. La tangente est la droite qui épouse la courbe au voisinage de ce point. L'algorithme de Sluse cherche cette droite en passant par une longueur intermédiaire : la sous-tangente, mesurée sur l'axe horizontal entre la projection du point et l'intersection de la tangente avec cet axe.

Son intérêt historique est de traiter une courbe donnée par une relation entre ses coordonnées, sans isoler nécessairement la hauteur en fonction de la position. Cette manière de calculer annonce le raisonnement qui sera ensuite systématisé par le calcul différentiel.

L'algorithme de Sluse est une procédure géométrique et algébrique qui détermine la tangente à une courbe définie implicitement, c'est-à-dire par une relation entre une abscisse et une ordonnée plutôt que par une expression isolée de l'ordonnée. Pour une tangente non verticale dont l'intersection avec l'axe des abscisses est unique, la sous-tangente est la longueur orientée portée par cet axe entre la projection du point de contact et cette intersection ; elle est conventionnellement non définie pour une tangente verticale.

Dans une traduction moderne, si $FF$ est continûment différentiable au voisinage du point considéré, si ce point vérifie l'équation $F(x,y)=0F(x,y)=0$, et si la variation verticale est déterminée localement par $F_y\mathrm{\ne }0F\_y\backslash ne\; 0$, la pente de la tangente s'écrit $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\backslash frac\{dy\}\{dx\}=-\backslash frac\{F\_x\}\{F\_y\}$. Pour une courbe écrite $y=f(x)y=f(x)$, la sous-tangente orientée vaut alors $\frac{y}{f^{\mathrm{\prime }}(x)}\backslash frac\{y\}\{f\text{'}(x)\}$, si la pente est non nulle. Cette écriture moderne explicite le mécanisme différentiel que la procédure historique préfigure ; elle n'est pas une transcription littérale de sa notation.

Pour une courbe implicite régulière au point étudié, on détermine d'abord la sous-tangente, puis on en déduit la droite tangente qui passe par le point de contact et l'intersection correspondante avec l'axe horizontal. Dans la notation moderne, la pente est $m=\frac{dy}{dx}m=\backslash frac\{dy\}\{dx\}$ et la sous-tangente orientée est $\frac{y}{m}\backslash frac\{y\}\{m\}$, à condition que $m\mathrm{\ne }0m\backslash ne0$. La procédure s'arrête lorsqu'une droite et sa position sont déterminées.

La méthode s'applique à une courbe décrite par une équation implicite et à un point effectivement situé sur cette courbe. Pour la traduction moderne, supposons que $FF$ soit continûment différentiable au voisinage du point considéré, que ce point vérifie $F(x,y)=0F(x,y)=0$, et que la relation permette de déterminer localement la variation de l'ordonnée, ce qui se traduit par $F_y\mathrm{\ne }0F\_y\backslash ne0$. La sous-tangente finie demande en plus une pente non nulle.

Au point $(5,0)(5,0)$ du cercle $x^2+y^2=25x^2+y^2=25$, la tangente est verticale : selon la convention retenue ici, la sous-tangente définie sur l'axe horizontal n'est pas définie pour une tangente verticale. Il faut alors décrire la tangente par sa verticalité, plutôt que d'appliquer la formule de la sous-tangente.

Prenons le cercle de centre l'origine et de rayon 5, défini par $x^2+y^2=25x^2+y^2=25$. On étudie le point de coordonnées $P=(3,4)P=(3,4)$. Les données sont donc le rayon 5, l'abscisse 3 et l'ordonnée 4.

On dérive l'équation par rapport à $xx$ terme à terme : $x^{2}x^2$ donne $2x2x$, $y^{2}y^2$ donne $2y\frac{dy}{dx}2y\backslash ,\backslash frac\{dy\}\{dx\}$ par la règle de la chaîne, et la constante 25 donne 0. La relation donne donc $2x+2y\frac{dy}{dx}=02x+2y\backslash ,\backslash frac\{dy\}\{dx\}=0$.
Au point $PP$, on remplace $xx$ par 3 et $yy$ par 4.
On obtient $6+8\frac{dy}{dx}=06+8\backslash ,\backslash frac\{dy\}\{dx\}=0$, donc $\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{4}\backslash frac\{dy\}\{dx\}=-\backslash frac\{3\}\{4\}$.
La sous-tangente orientée vaut $\frac{4}{-3\mathrm{/}4}=-\frac{16}{3}\backslash frac\{4\}\{-3/4\}=-\backslash frac\{16\}\{3\}$. Sa longueur géométrique est donc $\frac{16}{3}\backslash frac\{16\}\{3\}$, environ 5,33 unités.

La tangente passe par $PP$ et a une pente de $-3\mathrm{/}4-3/4$ ; son équation est $y-4=-\frac{3}{4}(x-3)y-4=-\backslash frac\{3\}\{4\}(x-3)$. En posant $y=0y=0$, elle coupe l'axe horizontal en $x=\frac{25}{3}x=\backslash frac\{25\}\{3\}$. La distance entre 3 et $25\mathrm{/}325/3$ vaut bien $16\mathrm{/}316/3$ : le calcul est contrôlé par la construction géométrique.

Pour une courbe historique ou géométrique donnée par une relation entre deux coordonnées, le geste propre de la procédure est de partir de cette relation, de repérer le point, puis de déterminer la sous-tangente comme intermédiaire de construction : sa position fournit l'intersection avec l'axe horizontal, et l'on trace la droite qui relie cette position au point de contact. Ce geste historique ne commence donc pas par une dérivée écrite dans la notation moderne.

Dans l'exemple du cercle, le passage par $dy\mathrm{/}dxdy/dx$ est précisément la traduction moderne de ce geste historique : il permet de calculer la sous-tangente, sans constituer une transcription de la notation d'origine. Pour une équation moderne dont la dérivée est déjà connue, le calcul différentiel est l'alternative la plus directe. On la préfère lorsque l'expression de la fonction et sa dérivée sont disponibles ; l'algorithme de Sluse reste alors surtout un éclairage historique sur l'origine de ce geste.

Algorithme de Sluse et dérivation implicite. Le premier désigne une procédure historique de construction de la tangente par la sous-tangente ; la seconde est une technique moderne qui calcule une pente à partir d'une équation implicite. Le cas du cercle $x^2+y^2=25x^2+y^2=25$ au point $(3,4)(3,4)$ montre leur articulation, mais les deux appellations ne sont pas synonymes.

Pente nulle. Si $m=0m=0$, la formule $y\mathrm{/}my/m$ ne donne pas une sous-tangente finie. La tangente peut pourtant être parfaitement définie : il faut la décrire comme une droite horizontale et ne pas diviser par zéro.

Tangente verticale. Au point $(5,0)(5,0)$ du cercle de rayon 5, la tangente est verticale et la sous-tangente conventionnelle n'est pas définie, car la pente finie nécessaire à cette construction n'existe pas. Une formule qui exige $F_y\mathrm{\ne }0F\_y\backslash ne0$ est donc inapplicable à ce point.

Point absent de la courbe. Une paire de coordonnées qui ne vérifie pas l'équation de la courbe ne peut pas servir de point de contact. Le symptôme est une contradiction dès la substitution ; il faut choisir un point qui satisfait réellement la relation avant tout calcul de tangente.

Pour relier cette construction historique au vocabulaire actuel, consultez la fiche fonction implicite. Elle permet de préciser comment une relation entre deux variables décrit localement une courbe et pourquoi certaines conditions sont nécessaires pour parler d'une pente.