angle corniculaire

Posez une règle contre un cercle, de sorte qu’elle ne le touche qu’en un point. La règle donne la tangente. L’arc quitte ce point en restant d’abord presque confondu avec elle : l’espace très mince qui les sépare était regardé comme un angle corniculaire.

Cet « angle » n’a pourtant pas deux côtés droits. Plus on observe près du contact, plus l’ouverture paraît petite. C’est cette situation, étrangère aux angles rectilignes ordinaires, qui a nourri le débat historique.

Dans la géométrie ancienne, l’angle corniculaire est la région comprise, au voisinage d’un point de contact, entre un arc de courbe et sa tangente. On le rencontre aussi sous les noms d’angle de contingence et d’angle de contact. Contrairement à un angle rectiligne, ses deux bords ne sont pas deux demi-droites : l’un est droit, l’autre courbe.

Pour une courbe régulière, la tangente au point de contact donne sa direction limite. Dans le langage moderne, l’angle entre ces deux directions vaut donc zéro, puisque la direction de la courbe y coïncide avec celle de la tangente. Cela ne signifie pas que l’arc se confond avec la droite : dès que l’on s’éloigne du contact, leur écart dépend notamment de la courbure.

La proposition 16 du livre III des Éléments affirme, pour le demi-cercle et sa tangente, que cet angle de contact est plus petit que tout angle rectiligne aigu. La difficulté venait donc de la comparaison de deux objets de natures différentes. Le calcul différentiel a remplacé cette grandeur ambiguë par des notions précises : direction tangente, variation locale et courbure.

Quatre éléments sont nécessaires. Une courbe fournit le bord courbe. Un point de contact fixe l’endroit étudié. La tangente est la droite qui partage, en ce point, la direction limite de la courbe. Enfin, le voisinage précise que l’on observe seulement ce qui se passe près du contact.

Le point détermine la tangente, à condition que la courbe soit assez régulière pour en posséder une unique. Pour une courbe de classe C², la courbure décrit le premier comportement quadratique de l’écart entre l’arc et cette droite. Lorsqu’elle est nulle, elle ne suffit plus à préciser cet écart : le comportement local résiduel intervient et, si la régularité permet un développement, des termes d’ordre supérieur peuvent le décrire. Déplacer ou agrandir le dessin ne change pas la structure de contact ; changer la courbe peut modifier cet écart. La figure du cercle unité rend ces dépendances visibles sans faire de la zone colorée un angle rectiligne.

On étudie le cercle unité de centre O, son point supérieur A et la tangente en A. Les données sont : O a pour coordonnées (0 ; 0), A a pour coordonnées (0 ; 1), le rayon vaut 1 et un point P de l’arc a pour coordonnées (3/5 ; 4/5).

1. Le cercle vérifie $x^2+y^2=1x^2+y^2=1$. Comme (3/5)² + (4/5)² = 1, P appartient bien au cercle.

2. Le rayon OA est vertical. La tangente en A lui est perpendiculaire ; son équation est donc $y=1y=1$.

3. Entre A et P, le déplacement horizontal vaut 3/5 et la descente vaut 1/5. La pente en valeur absolue de la corde AP vaut donc (1/5) ÷ (3/5) = 1/3.

4. L’angle rectiligne entre la corde AP et la tangente vaut $\arctan \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{3}\right)\approx {\mathrm{18,435}}^{\circ }\backslash arctan\backslash !\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\backslash approx18\{,\}435^\backslash circ$. Ce nombre mesure l’angle de la corde, pas l’angle corniculaire lui-même.

Le contrôle consiste à rapprocher P de A : la corde se rapproche alors de la tangente et son angle rectiligne tend vers 0°. La zone entre l’arc et la tangente subsiste sur tout petit intervalle, mais aucune ouverture angulaire positive fixe ne lui correspond.

Dans un texte ancien, repérez d’abord la nature des deux côtés. Si l’un est une courbe et l’autre sa tangente, l’auteur peut parler d’un angle corniculaire ; s’il s’agit de deux demi-droites, mesurez plutôt un angle rectiligne ordinaire.

Dans un problème moderne de contact, remplacez l’ancienne image par la grandeur adaptée. Utilisez la direction tangente pour comparer les orientations, et la courbure pour décrire à quelle vitesse la courbe s’écarte de sa tangente.

Sur une figure, ne mesurez pas l’épaisseur apparente de la zone avec un rapporteur. Le résultat dépendrait du point choisi sur l’arc et de l’échelle du dessin ; examinez plutôt les tangentes au point de contact.

Angle rectiligne. Il est formé par deux demi-droites de même origine et possède une mesure positive dès que leurs directions diffèrent. Dans la figure du cercle, l’angle entre la corde AP et la tangente est rectiligne ; la région entre l’arc AP et la tangente est corniculaire.

Angle entre deux courbes. En géométrie différentielle, on le définit par l’angle entre leurs tangentes au point d’intersection. Une courbe et sa propre tangente ont alors un angle moderne nul, même si elles se séparent de part et d’autre du contact.

Courbure. Elle décrit la variation de la direction tangente le long de la courbe. Deux courbes peuvent avoir la même tangente en un point, donc un angle de contact moderne nul, mais des courbures différentes.

Tangente non unique. En un point anguleux, plusieurs directions limites peuvent apparaître. Le symptôme est une cassure de la courbe : il faut alors étudier les demi-tangentes, pas supposer un unique angle corniculaire.

Mesure positive trompeuse. Une corde joignant le contact A à un autre point P forme avec la tangente un angle rectiligne, positif lorsqu’elle ne lui est pas parallèle et nul dans le cas contraire. Quand P tend vers A sur une courbe régulièrement différentiable au voisinage de A et possédant en A une tangente unique, cet angle tend vers 0° ; aucune valeur prise avant la limite ne mesure l’angle corniculaire.

Contact plus serré. Deux courbes peuvent partager une tangente et même une courbure au point considéré. Le seul constat d’un angle nul ne suffit donc pas à décrire leur ordre de contact. Si leur régularité autorise un développement local, on peut comparer des termes d’ordre supérieur ; sinon, il faut étudier plus prudemment leur comportement local résiduel.

Lecture historique. L’assertion « plus petit que tout angle aigu » emploie une conception ancienne de l’angle comme région bordée. La traduire par un nombre réel strictement positif produirait une contradiction ; le cadre moderne lui attribue plutôt une direction limite commune.

Dans l’œil d’Euclide — Situer la géométrie euclidienne dans la manière de raisonner dont est issue la proposition sur le demi-cercle.

analyse non standard — Voir le cadre moderne dans lequel certaines lectures infinitésimales de l’angle de contact peuvent être reformulées.