Barrow Isaac

En Angleterre au XVII^e siècle, Isaac Barrow étudie un geste géométrique très concret : tracer la droite qui touche une courbe en un point. Dans ses Lectiones Geometricae de 1674, il observe un minuscule triangle formé par deux déplacements, l'un horizontal et l'autre vertical. Leur rapport indique l'inclinaison de cette droite tangente.

Ce « triangle différentiel » fait entrevoir le calcul différentiel avant sa formulation moderne. Barrow relie ainsi une figure visible à la variation instantanée d'une courbe.

Isaac Barrow (1630-1677) est un théologien et mathématicien anglais, précurseur du calcul différentiel et intégral. Son apport principal est une étude géométrique des tangentes aux courbes. Dans les Lectiones Geometricae (1674), il la fonde sur le « triangle différentiel » : au voisinage d'un point de la courbe, un petit déplacement horizontal et la variation verticale correspondante forment les deux côtés d'un triangle. Le rapport de ces variations donne l'inclinaison recherchée lorsque le triangle est considéré à la limite.

En notation moderne, si le déplacement horizontal est noté Δx et la variation verticale Δy, le rapport $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\backslash frac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}$ décrit d'abord une sécante pour Δx non nul. La pente de la tangente est la limite de ce rapport, à condition que cette limite existe et soit finie. Cette écriture moderne éclaire l'idée géométrique ; elle ne prétend pas reproduire la notation de Barrow.

Pascal avait employé le même procédé dès 1658, dans son Traité des sinus du quart de cercle, pour calculer l'aire sous une arche de cycloïde. Barrow fut ensuite le professeur de Newton, lui céda sa chaire en 1669 et contribua à la publication posthume de certains de ses travaux.

Une lecture moderne du triangle différentiel peut se faire sur la parabole d'équation $y=x^{2}y=x^2$. On cherche la tangente au point A de coordonnées (2 ; 4). On choisit un second point B d'abscisse 2 + h, où h désigne un déplacement horizontal non nul. Pour la figure, h vaut 0,5 : B a donc pour coordonnées (2,5 ; 6,25).

1. La variation verticale entre A et B vaut 6,25 − 4 = 2,25.
2. La pente de la sécante AB vaut 2,25 ÷ 0,5 = 4,5.
3. Pour un déplacement général h, le quotient s'écrit :

4. Quand h se rapproche de 0 sans lui être égal, 4 + h se rapproche de 4. La tangente en A a donc pour pente 4 et pour équation $y=4x-4y=4x-4$. Le contrôle est direct : pour x = 2, cette équation donne bien y = 4. La figure rend visible le triangle associé à h = 0,5 et la tangente obtenue à la limite.

Pour étudier l'histoire des tangentes, on peut partir du dessin d'une courbe et suivre le rapport entre une petite avancée horizontale et la montée correspondante. Si l'objectif est de calculer rapidement une pente, la dérivée moderne est plus directe ; le triangle différentiel montre l'origine géométrique du calcul.

Pour situer Barrow dans la naissance du calcul infinitésimal, il faut distinguer les traces documentées : les Lectiones Geometricae paraissent en 1674, tandis que Pascal avait déjà appliqué le procédé à l'aire d'une arche de cycloïde en 1658. Le critère utile est donc le problème traité, tangente ou aire, plutôt qu'une attribution globale.

Pour suivre le lien avec Newton, on retient un fait institutionnel précis : Barrow fut son professeur et lui céda sa chaire en 1669. Pour étudier les méthodes propres à Newton, il faut ensuite consulter ses travaux plutôt que les déduire du seul rôle de Barrow.

Barrow et Newton. Barrow est le professeur qui cède sa chaire à Newton en 1669 ; Newton est son successeur. Cette relation ne rend pas leurs travaux interchangeables : un résultat attribué à l'un ne peut être transféré à l'autre sans source.

Triangle différentiel et triangle sécant fini. Avec un déplacement horizontal fixé, le quotient des variations donne la pente d'une sécante. Il représente la tangente seulement après un passage à la limite, lorsque cette limite existe.

Tangente et aire. Chez Barrow, le procédé présenté dans la source sert à étudier les tangentes. Chez Pascal en 1658, il sert à calculer l'aire sous une arche de cycloïde. Le résultat visé permet de trancher.

Une lecture modernisée n'est pas une citation. Les symboles Δx, Δy et la limite traduisent aujourd'hui l'idée géométrique. Il ne faut pas les présenter comme la notation littérale des Lectiones Geometricae.

Un déplacement nul ne donne pas un quotient. Pour h = 0, le rapport des variations prend la forme 0 ÷ 0 et n'est pas défini. Il faut calculer le quotient pour h non nul, puis chercher sa limite.

La tangente n'a pas toujours une pente finie. Si le rapport ne tend pas vers un nombre fini, le calcul de l'exemple ne s'applique pas tel quel. Il faut alors examiner l'existence d'une tangente verticale ou l'absence de tangente unique.

« Précurseur » ne signifie pas « inventeur unique ». La source signale elle-même l'emploi antérieur du procédé par Pascal en 1658. Il faut attribuer à Barrow l'étude décrite, sans lui réserver toute l'origine du calcul infinitésimal.

cycloïde — Pour reconnaître la courbe dont Pascal calcule l'aire sous une arche dans l'épisode cité.

Newton Isaac — Pour prolonger le portrait par celui de l'élève auquel Barrow cède sa chaire en 1669.

Les fluxions de Newton — Pour examiner la méthode de Newton au lieu de la déduire de sa relation avec Barrow.

L’histoire du calcul infinitésimal — Pour replacer le procédé géométrique dans une histoire plus large du calcul infinitésimal.