concept de fluxion

Imaginez un point qui se déplace sur un cercle. Ses coordonnées changent à chaque instant, mais le point reste sur la courbe. Newton appelle ces coordonnées variables des fluentes. Leurs vitesses de changement sont leurs fluxions.

Au point de coordonnées (3 ; 4), une vitesse horizontale de 2 unités par unité de temps impose une vitesse verticale de −1,5. La forme du cercle relie donc les deux fluxions : le mouvement ne peut pas partir dans une direction arbitraire.

Dans le vocabulaire de Newton, une fluente est une quantité qui varie avec le temps, et sa fluxion est sa vitesse de variation instantanée. Pour une fluente nommée x, la notation moderne $\dot{x}\backslash dot\{x\}$ désigne sa dérivée par rapport au temps. La fluxion dépend donc du paramétrage temporel : parcourir la même courbe plus vite multiplie les fluxions, sans changer la courbe.

Si f est différentiable et si les coordonnées x et y d'un point mobile sont des fonctions différentiables du temps qui vérifient une relation $f(x,y)=0f(x,y)=0$, les symboles $f_{x}f\_x$ et $f_{y}f\_y$ désignent les dérivées partielles de f selon chaque coordonnée. La règle de chaîne appliquée par rapport au temps donne alors la relation entre les fluxions :

Lorsque f_y n'est pas nul, la fluxion verticale est déterminée par la fluxion horizontale. Si les deux dérivées partielles s'annulent, cette équation du premier ordre peut ne plus déterminer la direction du mouvement. Présentée en 1736 dans un ouvrage sur les séries et les fluxions, cette approche rejoint la dérivée moderne par son résultat, mais part d'une intuition géométrique et mécanique plutôt que d'une définition analytique par les limites.

Un point mobile reste sur le cercle d'équation $x^2+y^2=25x^2+y^2=25$. À l'instant étudié, ses coordonnées sont x = 3 et y = 4. Sa fluxion horizontale vaut $\dot{x}=2\backslash dot\{x\}=2$ unités de longueur par unité de temps. Il faut déterminer sa fluxion verticale.

Étape 1. La dérivation de l'équation du cercle par rapport au temps donne :

Étape 2. En remplaçant x, y et la fluxion horizontale par leurs valeurs :

Étape 3. On obtient $12+8\dot{y}=012+8\backslash dot\{y\}=0$, donc $\dot{y}=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}=-\mathrm{1,5}\backslash dot\{y\}=-\backslash frac\{12\}\{8\}=-\backslash frac\{3\}\{2\}=-1\{,\}5$. Le point descend de 1,5 unité de longueur par unité de temps pendant qu'il avance horizontalement de 2.

Le contrôle utilise le rayon (3 ; 4) et la vitesse (2 ; −1,5) : leur produit scalaire vaut 3 × 2 + 4 × (−1,5) = 0. La vitesse est donc bien tangente au cercle au point considéré.

Dans un texte de Newton, traduire fluente par quantité dépendant du temps et fluxion par dérivée temporelle permet de refaire les calculs avec les notations actuelles. Cette traduction éclaire la méthode, mais il faut conserver son point de départ mécanique lorsqu'on étudie l'histoire du concept.

Pour un mouvement contraint par une équation, la différentiation implicite relie directement les composantes de la vitesse. Elle est préférable à la résolution explicite de y lorsque cette résolution introduit plusieurs branches ou alourdit le calcul.

Dans un cours moderne sans évolution temporelle, le mot dérivée est généralement plus précis. Le vocabulaire des fluxions devient pertinent lorsque la question porte sur la démarche de Newton ou lorsqu'un paramètre temps décrit réellement le mouvement.

Fluxion et fluente. La fluente est la quantité variable ; la fluxion est sa vitesse de variation. Dans l'exemple du cercle, x et y sont les fluentes, tandis que 2 et −1,5 sont leurs fluxions à l'instant considéré.

Fluxion et dérivée partielle. Une fluxion dérive une quantité le long du temps et du mouvement effectivement suivi. Une dérivée partielle mesure l'effet d'une variable en maintenant les autres fixes. Pour une relation f, notons f_x et f_y ses dérivées partielles selon x et y. Dans $f_x\dot{x}+f_y\dot{y}=0f\_x\backslash dot\{x\}+f\_y\backslash dot\{y\}=0$, les quantités pointées sont les fluxions.

Fluxion et variation moyenne. Une variation moyenne compare deux instants séparés. Une fluxion concerne un instant déterminé. Une vitesse calculée sur une seconde entière ne suffit donc pas à donner la fluxion si la vitesse change pendant cette seconde.

Le temps doit être identifié. La même courbe peut être parcourue selon plusieurs rythmes. Sans paramétrage temporel, sa forme fixe seulement les directions tangentes possibles, pas la valeur numérique des fluxions. Il faut alors préciser le mouvement ou parler simplement de tangente.

Une division peut masquer un cas charnière. Sur le cercle $x^2+y^2=25x^2+y^2=25$, isoler $\dot{y}=-x\dot{x}\mathrm{/}y\backslash dot\{y\}=-x\backslash dot\{x\}/y$ suppose y non nul. Aux points où y = 0, cette formule est interdite ; il faut conserver la relation implicite ou choisir un autre paramétrage.

Une relation singulière peut être insuffisante. Si f_x et f_y s'annulent ensemble, l'équation différentiée devient 0 = 0 et ne sélectionne aucune direction. L'étude locale de la courbe, un paramétrage ou des termes d'ordre supérieur sont alors nécessaires.

L'intuition mécanique n'est pas une définition moderne complète. Elle guide correctement le calcul, mais ne remplace pas les hypothèses et les limites utilisées aujourd'hui pour définir rigoureusement une dérivée. Il faut distinguer la formulation historique de sa reconstruction analytique.

Le passage des fluxions à la notation moderne invite à séparer deux informations : la géométrie de la trajectoire et la manière dont le temps la parcourt. Cette distinction mène naturellement aux courbes paramétrées et aux vecteurs tangents.

La différentiation implicite prolonge ce point de vue. Lorsque la relation est régulière près du point étudié, elle permet de calculer une composante de la vitesse à partir des autres ; aux points singuliers, l'analyse locale devient indispensable.