AlgèbreNotion · Glossaire
classe d'équivalence
Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R, c'est-à-dire une relation binaire à la fois réflexive (tout élément est en relation avec lui-même), symétrique (si a est en relation avec b, alors b est en relation avec a) et transitive (si a est en relation avec b et b avec c, alors a est en relation avec c). La classe d'équivalence d'un élément a de E, notée [a] ou ā, est l'ensemble de tous les éléments de E qui sont en relation avec a : [a] = { x ∈ E | x R a }. Deux classes d'équivalence sont soit disjointes, soit identiques, et leur réunion reconstitue E tout entier : elles forment ainsi une partition de E. L'ensemble des classes d'équivalence est appelé ensemble quotient de E par R, noté E/R.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les trois propriétés exigées d'une relation d'équivalence.
- Construire les classes de restes modulo 3 sur un ensemble fini.
- Distinguer une classe, la relation qui la définit et l'ensemble quotient.
- Éviter les faux doublons dus au changement de représentant.
En clair
Prenons les nombres de 0 à 8 et rangeons-les selon leur reste dans une division par 3. Les nombres 0, 3 et 6 vont ensemble ; 1, 4 et 7 forment un autre groupe ; 2, 5 et 8 un troisième.
Chacun de ces groupes est une classe d'équivalence. Dans un même groupe, les nombres sont considérés comme équivalents pour le critère choisi, même s'ils ne sont pas égaux. Chaque nombre appartient à un seul groupe.
Définition
Une classe d'équivalence est un sous-ensemble formé à partir d'une relation d'équivalence. Sur un ensemble E, cette relation, notée R, doit être réflexive : tout élément est relié à lui-même. Elle doit être symétrique : si un élément a est relié à un élément b, alors b est relié à a. Elle doit enfin être transitive : si a est relié à b et b à un élément c, alors a est relié à c.
Pour un élément a de E, sa classe, notée [a] ou ā, rassemble exactement les éléments x de E reliés à a : . L'élément a est un représentant de cette classe, mais tout élément de [a] peut aussi la représenter. Deux représentants reliés ont donc la même classe.
Les classes ne se chevauchent jamais partiellement : deux classes sont identiques ou disjointes. Elles couvrent E et constituent ainsi une partition de E. L'ensemble dont les éléments sont ces classes est l'ensemble quotient de E par R, noté E/R.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans l'ensemble E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Deux nombres sont reliés lorsqu'ils ont le même reste dans la division par 3. Les données sont donc les neuf nombres de E, le diviseur 3 et les trois restes possibles : 0, 1 et 2. La répartition attendue comporte trois groupes, chacun associé à un reste.
1. Pour le représentant 0, les nombres de reste 0 sont 0, 3 et 6. Ainsi, [0] = {0, 3, 6}.
2. Pour le représentant 1, les nombres de reste 1 sont 1, 4 et 7. Ainsi, [1] = {1, 4, 7}.
3. Pour le représentant 2, les nombres de reste 2 sont 2, 5 et 8. Ainsi, [2] = {2, 5, 8}.
Le quotient E/R contient donc exactement les trois classes [0], [1] et [2]. Pour contrôler le résultat, on constate que chaque nombre de 0 à 8 apparaît une fois, et une seule, dans leur réunion.
En pratique
En arithmétique, les classes de restes permettent de ne retenir que le comportement d'un entier modulo un nombre fixé. Pour étudier la divisibilité par 3, on classe ainsi 7 avec 1, car ils ont le même reste. On conserve l'égalité ordinaire lorsque la valeur exacte doit rester visible.
Plus généralement, former des classes sert à remplacer plusieurs objets équivalents par un seul groupe. Le bon réflexe consiste à annoncer d'abord la relation choisie, puis à vérifier réflexivité, symétrie et transitivité avant de manipuler les groupes comme une partition.
À ne pas confondre
Classe d'équivalence et relation d'équivalence. La relation indique quelles paires d'éléments sont reliées ; une classe est un sous-ensemble obtenu avec cette relation. Dans l'exemple modulo 3, « avoir le même reste » est la relation, tandis que {1, 4, 7} est une classe.
Une classe et l'ensemble quotient. Une classe regroupe les éléments équivalents à un représentant. L'ensemble quotient regroupe toutes les classes. Ici, [1] = {1, 4, 7} est une classe, alors que E/R contient [0], [1] et [2].
Équivalence et égalité. Deux éléments équivalents ne sont pas nécessairement égaux. Les nombres 1 et 4 sont distincts, mais équivalents pour la relation « avoir le même reste dans la division par 3 ».
Limites et pièges
Une propriété manque. Une relation réflexive et transitive ne suffit pas. Sur les nombres, la relation « être inférieur ou égal à » n'est pas symétrique : 1 ≤ 4, mais 4 ≤ 1 est faux. Les ensembles obtenus ne sont donc pas des classes d'équivalence formant une partition.
Le représentant change, pas la classe. Dans l'exemple modulo 3, [1], [4] et [7] désignent le même sous-ensemble {1, 4, 7}. Compter ces trois écritures comme trois classes différentes créerait de faux doublons.
La relation reste indispensable. L'écriture [a] n'a pas de sens complet si l'ensemble et la relation ne sont pas connus. Un même élément peut appartenir à des classes différentes lorsque le critère d'équivalence change.
Deux classes ne se recouvrent pas partiellement. Si deux classes ont au moins un élément commun, la transitivité et la symétrie imposent qu'elles soient identiques. Il faut alors les fusionner, et non conserver deux groupes qui se chevauchent.
Pour aller plus loin
relation d'équivalence — Pour examiner séparément les trois propriétés qui garantissent la formation de classes et d'une partition.
congruence modulo n — Pour prolonger l'exemple des restes et travailler avec des classes sur l'ensemble des entiers.
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