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relation symétrique
La symétrie est une propriété que peuvent posséder certaines relations binaires définies sur un ensemble. Une relation binaire R sur un ensemble E est dite symétrique si, pour tous éléments x et y de E, le fait que x soit en relation avec y implique que y est en relation avec x. Autrement dit, la relation ne distingue pas l'ordre des éléments dans le couple. L'égalité sur les nombres réels est un exemple classique de relation symétrique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler le critère xRy implique yRx.
- Tester la symétrie sur une liste de couples ou une règle.
- Distinguer symétrie, antisymétrie, réflexivité et transitivité.
En clair
Prenons les nombres 1, 2, 3 et 4, et relions deux nombres lorsqu’ils ont la même parité. Le nombre 1 est alors relié à 3, et 3 est aussi relié à 1. De même, 2 est relié à 4 dans les deux sens.
Cette réciprocité est l’idée essentielle : chaque lien accepté reste accepté quand on échange les deux éléments. Une relation qui possède cette propriété est dite symétrique.
Définition
Une relation binaire sur un ensemble associe certains couples ordonnés d’éléments de cet ensemble. Notons E l’ensemble considéré et R la relation. L’écriture signifie que l’élément x est en relation avec l’élément y. La relation R est symétrique lorsque toute relation de x vers y entraîne la relation réciproque de y vers x.
Cette propriété porte uniquement sur les couples qui appartiennent à la relation. Elle ne demande pas que tous les éléments soient reliés entre eux, ni même qu’un élément soit relié à lui-même. Ainsi, l’égalité sur les nombres réels est symétrique : si deux réels sont égaux dans un ordre, ils le sont aussi dans l’ordre inverse. Une relation peut en outre être réflexive ou transitive, mais ces propriétés sont indépendantes de la symétrie.
Le principe
Soit R une relation binaire définie sur un ensemble E. Pour vérifier sa symétrie, on choisit deux éléments quelconques x et y de E, puis on suppose que x est en relation avec y. Il faut alors pouvoir conclure que y est en relation avec x :
Une seule paire pour laquelle le lien existe dans un sens mais pas dans l’autre suffit donc à montrer que R n’est pas symétrique.
Quand l'utiliser
Le critère s’applique à une relation binaire dont les deux places portent sur le même ensemble E. Il faut connaître les couples qui appartiennent à la relation, ou disposer d’une règle permettant de décider si un couple y appartient. La vérification doit couvrir tous les couples admis, et pas seulement quelques exemples favorables.
Par contre, la relation « être inférieur ou égal à » sur les nombres réels échoue : 2 est inférieur ou égal à 5, tandis que 5 ne l’est pas à 2. Ce contre-cas interdit de conclure à la symétrie ; il faut alors conserver le sens des couples.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’ensemble E formé des nombres 1, 2, 3 et 4. On définit la relation R ainsi : deux nombres sont en relation lorsqu’ils ont la même parité. Les données sont donc les quatre nombres et le critère « tous deux impairs ou tous deux pairs ».
1. Le couple formé de 1 puis 3 appartient à R, car 1 et 3 sont impairs.
2. Le couple formé de 3 puis 1 appartient aussi à R pour la même raison.
3. Le même contrôle donne les couples formés de 2 puis 4 et de 4 puis 2, car 2 et 4 sont pairs.
4. Chaque nombre a la même parité que lui-même ; les quatre couples de la forme « un nombre avec lui-même » appartiennent donc à R.
2. Le couple formé de 3 puis 1 appartient aussi à R pour la même raison.
3. Le même contrôle donne les couples formés de 2 puis 4 et de 4 puis 2, car 2 et 4 sont pairs.
4. Chaque nombre a la même parité que lui-même ; les quatre couples de la forme « un nombre avec lui-même » appartiennent donc à R.
La liste complète des couples confirme le contrôle :
Chaque case marquée dans la matrice de la relation possède une case miroir par rapport à la diagonale. La relation est donc symétrique.
En pratique
Dans une liste explicite de couples, on contrôle chaque couple en recherchant son couple inversé. Si l’un manque, on garde la relation orientée au lieu de la présenter comme symétrique.
Dans un graphe représentant une relation, la symétrie permet de remplacer deux flèches opposées par une arête sans orientation. Cette simplification n’est valable que si chaque flèche possède réellement sa réciproque.
Pour une règle algébrique, on échange les deux variables et on vérifie que la condition reste vraie. Si l’échange change le verdict, il faut conserver l’ordre des variables.
À ne pas confondre
Relation antisymétrique. Elle n’exige pas le lien réciproque. Elle impose que, si deux éléments sont reliés dans les deux sens, alors ils sont égaux. La relation « inférieur ou égal à » est antisymétrique, mais elle n’est pas symétrique puisque 2 ≤ 5 sans que 5 ≤ 2.
Relation réflexive. Elle demande que chaque élément soit en relation avec lui-même. Une relation peut être symétrique sans être réflexive : sur l’ensemble formé de 1 et 2, la relation contenant seulement les couples (1, 2) et (2, 1) est symétrique, mais aucun élément n’est relié à lui-même.
Relation transitive. Elle permet d’enchaîner deux liens ayant un élément commun. La relation « être différent de » sur les nombres réels est symétrique, mais non transitive : 1 est différent de 2 et 2 de 1, alors que 1 n’est pas différent de lui-même.
Limites et pièges
Relation vide. Une relation qui ne contient aucun couple est symétrique : il n’existe aucun lien à sens unique qui contredise le critère. Il ne faut pas exiger la présence d’au moins une paire.
Couples diagonaux. Un couple formé deux fois du même élément est son propre inverse. Sa présence ne prouve donc rien sur les liens entre éléments distincts ; il faut aussi contrôler les couples hors diagonale.
Exemples favorables insuffisants. Quelques couples réciproques ne prouvent pas une propriété universelle. Le symptôme est un couple oublié dont l’inverse manque ; il faut examiner la règle générale ou la liste complète.
Symétrie sans équivalence. La symétrie seule ne produit pas une relation d’équivalence. Avant d’utiliser des classes d’équivalence, il faut vérifier séparément la réflexivité et la transitivité.
Pour aller plus loin
La relation binaire précise comment un ensemble de couples encode les liens entre deux éléments.
La relation antisymétrique éclaire une propriété au nom voisin, mais gouvernée par un critère très différent.
La relation d’équivalence montre comment symétrie, réflexivité et transitivité se combinent pour former des classes.
La fiche Graphe orienté et non-orienté relie la réciprocité des couples à une représentation sans flèches.
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