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relation transitive
La transitivité est une propriété que peuvent posséder certaines relations binaires définies sur un ensemble. Une relation binaire R sur un ensemble E est dite transitive si, pour tous éléments x, y et z de E, le fait que x soit en relation avec y et que y soit en relation avec z implique que x est en relation avec z. Autrement dit, la relation se propage le long des chaînes de couples. L'égalité sur les nombres réels est un exemple classique de relation transitive.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler le critère xRy et yRz impliquent xRz.
- Vérifier la transitivité sur une relation finie.
- Réfuter la transitivité avec un seul triplet.
- Distinguer transitivité, symétrie et réflexivité.
En clair
Prenons les nombres 1, 2 et 4, reliés par « est strictement inférieur à ». Puisque 1 est inférieur à 2 et que 2 est inférieur à 4, on peut relier directement 1 à 4.
Une relation est transitive lorsque ce raccourci fonctionne pour chaque chaîne de deux relations. Il ne suffit donc pas de trouver une chaîne qui fonctionne : aucune chaîne possible ne doit conduire à un échec.
Définition
Une relation binaire associe certains couples d'éléments d'un même ensemble. Notons cet ensemble E et la relation R. L'écriture xRy signifie que l'élément x est en relation avec l'élément y.
La relation R est transitive lorsque, quels que soient les éléments x, y et z de E, les deux faits xRy et yRz entraînent xRz. Le critère complet s'écrit . La condition porte sur tous les triplets de E, y compris lorsque certains éléments sont égaux.
L'égalité sur les nombres réels est transitive : si deux nombres sont égaux à un même nombre intermédiaire, ils sont égaux entre eux. La transitivité n'impose toutefois ni que xRx soit toujours vrai, ni que xRy entraîne yRx. Ces exigences correspondent à d'autres propriétés.
Le principe
Soit R une relation binaire sur un ensemble E. Pour établir sa transitivité, on choisit arbitrairement trois éléments x, y et z de E, puis on suppose que xRy et yRz sont vrais. Il faut alors démontrer que xRz est nécessairement vrai.
Pour montrer que R n'est pas transitive, un seul contre-exemple suffit : trois éléments pour lesquels xRy et yRz sont vrais, mais xRz est faux.
Quand l'utiliser
Le critère s'applique à une relation binaire R définie sur un ensemble E clairement fixé. Il faut connaître les couples pour lesquels la relation est vraie, puis examiner chaque chaîne xRy, yRz qui peut être formée dans E. Dès qu'une telle chaîne existe, le couple xRz doit aussi appartenir à la relation.
La relation « est parent de » fournit un contre-cas. Si Alice est parent de Bob et Bob parent de Chloé, Alice est grand-parent de Chloé, mais pas parent de Chloé. La chaîne ne se referme donc pas par la même relation ; il faut employer « est ancêtre de » pour obtenir une relation transitive.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'ensemble E formé des nombres 1, 2 et 4. La relation R signifie « est strictement inférieur à ». Dans E, elle contient exactement les couples (1, 2), (1, 4) et (2, 4). Le schéma associé rend visible la fermeture de l'unique chaîne de deux relations.
1. On repère les relations qui peuvent s'enchaîner : 1R2 et 2R4.
2. L'élément intermédiaire est 2 ; le critère exige donc 1R4.
3. Le couple (1, 4) appartient bien à R, puisque 1 est strictement inférieur à 4.
4. Aucune autre chaîne de deux relations n'est possible dans cet ensemble.
2. L'élément intermédiaire est 2 ; le critère exige donc 1R4.
3. Le couple (1, 4) appartient bien à R, puisque 1 est strictement inférieur à 4.
4. Aucune autre chaîne de deux relations n'est possible dans cet ensemble.
La relation R est donc transitive sur E. Le contrôle est refaisable en listant les trois couples : le seul couple qui se termine par 2, (1, 2), s'enchaîne avec le seul couple qui commence par 2, (2, 4), et le raccourci (1, 4) est présent.
En pratique
Dans un exercice, on prouve une transitivité en partant de deux relations consécutives portant sur des éléments arbitraires. Si la conclusion directe se déduit des hypothèses, la chaîne se ferme.
Pour réfuter la propriété, on cherche plutôt une chaîne cassée. Un seul triplet avec deux relations vraies et la relation directe fausse décide la question, sans qu'il soit nécessaire d'étudier les autres triplets.
Sur un ensemble fini, une liste de couples ou un graphe orienté facilite le contrôle. On suit deux flèches consécutives et on vérifie que la flèche de raccourci existe ; une démonstration générale reste préférable lorsque l'ensemble est infini.
À ne pas confondre
Relation symétrique. La symétrie inverse un couple : xRy doit entraîner yRx. La transitivité compose deux couples consécutifs de la forme (x, y) et (y, z). La relation « strictement inférieur à » est transitive, mais pas symétrique, car 1 < 2 n'entraîne pas 2 < 1.
Relation réflexive. La réflexivité exige xRx pour chaque élément x. La transitivité ne l'exige pas. Sur l'ensemble {1, 2, 4}, la relation « strictement inférieur à » est transitive, alors qu'aucun nombre n'est strictement inférieur à lui-même.
Relation d'équivalence ou relation d'ordre. Ces notions imposent plusieurs propriétés simultanées. La transitivité n'en est qu'une composante : elle ne suffit donc pas, à elle seule, à qualifier une relation d'équivalence ou d'ordre.
Limites et pièges
Vérité sans chaîne. Si aucune paire de relations xRy, yRz ne peut être formée, l'implication n'est jamais mise en défaut. La relation est alors transitive par vacuité ; il ne faut pas conclure qu'elle décrit une propagation effectivement observée.
Un exemple positif ne suffit pas. Constater que 1R2, 2R4 et 1R4 valide un triplet, pas automatiquement toute une relation plus vaste. Il faut contrôler toutes les chaînes possibles, ou donner une démonstration qui couvre tous les éléments.
Une seule chaîne cassée suffit. Si xRy et yRz sont vrais mais xRz est faux pour un triplet, la relation entière n'est pas transitive. Les nombreuses autres chaînes qui se referment ne compensent jamais ce contre-exemple.
Éléments répétés. Les trois éléments ne sont pas supposés distincts. Par exemple, si xRy et yRx sont vrais dans une relation transitive, alors xRx et yRy doivent aussi être vrais. Oublier ces triplets peut masquer un défaut de transitivité.
Pour aller plus loin
La relation binaire précise comment représenter les couples auxquels s'applique le critère de transitivité.
La relation d'équivalence montre comment la transitivité s'associe à la réflexivité et à la symétrie.
La relation d'ordre situe la transitivité parmi les propriétés qui organisent et comparent les éléments d'un ensemble.
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