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relation antisymétrique
Une relation binaire sur un ensemble est antisymétrique lorsque, pour tous éléments x et y, si x est en relation avec y et y avec x, alors x et y sont égaux. Ainsi, deux éléments distincts ne peuvent jamais être reliés l’un à l’autre dans les deux sens, ce qui permet de conclure à leur égalité dès qu’un tel aller-retour est établi.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire le critère formel de l’antisymétrie.
- Vérifier ce critère sur l’ordre large restreint à deux nombres.
- Distinguer relation antisymétrique, relation symétrique et relation asymétrique.
- Reconnaître les boucles et les implications vacuement vraies comme des cas non bloquants.
En clair
Prenons deux nombres, 2 et 5. On a 2 ≤ 5, mais pas 5 ≤ 2. Avec l’ordre large, deux nombres différents ne peuvent donc pas être placés chacun avant l’autre.
Une relation est antisymétrique quand cette réciprocité force les deux objets à n’en être qu’un : si chacun est relié à l’autre, ils sont égaux. Cela n’interdit pas qu’un objet soit relié à lui-même.
Définition
Une relation binaire R sur un ensemble E est un critère qui permet d’écrire « xRy » pour certains couples d’éléments x et y de E. Elle est antisymétrique lorsque deux relations de sens opposés entre les mêmes éléments entraînent leur égalité.
En notant x et y deux éléments quelconques de E, la définition complète est : . Une formulation équivalente dit que, lorsque x et y sont distincts, xRy et yRx ne peuvent pas être vrais simultanément.
L’ordre large ≤ sur les nombres réels vérifie cette propriété. La définition n’exige en revanche ni que chaque élément soit relié à lui-même, ni que tous les couples soient comparables, ni que la relation soit transitive. Ces propriétés supplémentaires interviennent dans la définition d’une relation d’ordre.
Le principe
Soit R une relation binaire définie sur un ensemble E. Pour établir son antisymétrie, on choisit deux éléments quelconques x et y de E, puis on suppose à la fois xRy et yRx. Il faut alors démontrer que x = y. Le critère s’écrit : .
Quand l'utiliser
Le critère porte sur une relation binaire R dont les deux objets appartiennent au même ensemble E. Il faut pouvoir tester les deux sens, xRy et yRx, pour tout choix de x et y. La conclusion demandée est l’égalité des objets, et non la simple ressemblance de leurs propriétés.
Un seul couple distinct relié dans les deux sens suffit à faire échouer l’antisymétrie. Par exemple, si deux entiers sont déclarés en relation lorsqu’ils ont la même parité, alors 2 est relié à 4 et 4 à 2, bien que 2 ≠ 4. Pour obtenir une relation antisymétrique, il faut employer un autre critère, tel que l’ordre ≤.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’ensemble E = {2, 5} et la relation R définie par « xRy lorsque x ≤ y ». Les seuls éléments à tester sont 2 et 5. Le graphe associé comporte les boucles 2R2 et 5R5, ainsi que la flèche 2R5.
1. Pour le couple (2, 5), la proposition 2R5 est vraie, car 2 ≤ 5.
2. La proposition inverse 5R2 est fausse, car 5 ≤ 2 est faux. Les deux sens ne sont donc pas vrais ensemble pour ces éléments distincts.
3. Pour les couples (2, 2) et (5, 5), les deux sens coïncident et l’égalité demandée est déjà vérifiée.
Le contrôle est exhaustif : aucun couple de deux éléments distincts n’est relié dans les deux sens. La relation ≤ restreinte à E est donc antisymétrique.
En pratique
Dans un ensemble ordonné par ≤, l’antisymétrie transforme deux comparaisons opposées en preuve d’égalité. Si x ≤ y et y ≤ x ont été établis, il n’est plus nécessaire de comparer séparément leurs valeurs : on conclut x = y.
Dans un graphe de relation fini, on cherche deux flèches opposées entre deux sommets distincts. Leur présence réfute immédiatement l’antisymétrie ; les boucles, elles, ne comptent pas comme contre-exemples. Pour un grand ensemble, une preuve générale remplace ce contrôle visuel.
Lorsqu’on veut reconnaître un ordre, l’antisymétrie ne suffit pas. Il faut aussi contrôler la réflexivité et la transitivité ; si toutes les paires doivent être comparables, il faut encore vérifier cette exigence supplémentaire.
À ne pas confondre
Relation symétrique. Une relation symétrique exige que xRy entraîne yRx. Une relation antisymétrique exige seulement que les deux sens, s’ils sont vrais, imposent x = y. La relation « avoir la même parité » est symétrique, mais elle n’est pas antisymétrique puisque 2 et 4 sont distincts et reliés dans les deux sens.
Relation asymétrique. Une relation asymétrique interdit toujours le sens inverse : xRy entraîne que yRx est faux. L’ordre strict < est asymétrique. L’ordre large ≤ est antisymétrique mais pas asymétrique, puisque x ≤ x est vrai.
Matrice antisymétrique. Ce terme désigne une matrice dont la transposée est l’opposée. Il ne s’agit pas de l’antisymétrie d’une relation binaire, même si le vocabulaire est voisin.
Limites et pièges
Les boucles sont permises. Voir xRx dans un graphe ne réfute pas l’antisymétrie, car la conclusion x = x est satisfaite. Il faut chercher un aller-retour entre deux sommets distincts.
Une implication peut être vraie sans aller-retour. Si aucun couple ne vérifie simultanément xRy et yRx, l’implication définissant l’antisymétrie est vraie. La relation vide est donc antisymétrique sur tout ensemble, sans comparer aucun élément.
Symétrique et antisymétrique ne sont pas incompatibles. La relation d’égalité possède les deux propriétés : x = y donne aussi y = x, et une relation mutuelle ne relie jamais deux éléments distincts. Il faut tester les définitions au lieu de déduire une propriété du préfixe employé.
L’antisymétrie seule ne définit pas un ordre. Une relation peut être antisymétrique tout en n’étant ni réflexive ni transitive. Pour annoncer une relation d’ordre, il faut vérifier séparément ces deux propriétés.
Pour aller plus loin
La relation binaire fournit le cadre général : elle précise comment un critère sélectionne des couples d’éléments d’un ensemble.
La relation d'ordre montre comment l’antisymétrie s’associe à la réflexivité et à la transitivité pour organiser un ensemble.
La relation symétrique permet de comparer précisément deux propriétés souvent confondues à cause de leur vocabulaire voisin.
L’article Éblouissantes relations binaires élargit la perspective sur les usages et les structures formées par les relations binaires.
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