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relation réflexive
La réflexivité est une propriété que peuvent posséder certaines relations binaires définies sur un ensemble. Une relation binaire R sur un ensemble E est dite réflexive si tout élément de E est en relation avec lui-même, c'est-à-dire si, pour tout x appartenant à E, on a x R x. L'égalité sur un ensemble quelconque constitue l'exemple le plus immédiat de relation réflexive.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la réflexivité comme la présence d'une boucle sur chaque élément.
- Appliquer le critère à une liste de couples, un graphe orienté ou une matrice binaire.
- Vérifier pas à pas un exemple sur l'ensemble {1, 2, 3}.
- Distinguer réflexivité, symétrie, égalité et irréflexivité.
- Traiter correctement l'ensemble vide, une boucle manquante et un changement de domaine.
En clair
Imaginez trois points numérotés 1, 2 et 3, reliés par des flèches. La relation est réflexive lorsque chaque point possède une boucle qui revient vers lui-même. D'autres flèches peuvent relier deux points différents : elles ne changent pas ce verdict.
Il suffit toutefois qu'un seul point n'ait pas sa boucle pour que la relation entière ne soit pas réflexive. Le contrôle porte donc sur tous les éléments de l'ensemble, sans exception.
Définition
Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E, c'est-à-dire un sous-ensemble de E × E. Écrire x R y signifie que le couple ordonné (x, y) appartient à R. La relation est réflexive lorsque chaque élément x de E est relié à lui-même : .
La diagonale de E × E est l'ensemble de tous les couples dont les deux composantes sont égales. La réflexivité équivaut à l'inclusion suivante : . Une relation réflexive peut contenir d'autres couples ; elle doit seulement contenir toute sa diagonale.
L'égalité est réflexive sur tout ensemble, car chaque élément est égal à lui-même. Sur les entiers, la divisibilité est aussi réflexive : tout entier divise lui-même, y compris 0 puisque 0 = 0 × 0. La réflexivité dépend toujours de l'ensemble sur lequel la relation est considérée.
Le principe
Pour décider si une relation R sur un ensemble E est réflexive, il faut tester le couple (x, x) pour chaque élément x de E. Le critère est : .
Tous les tests doivent réussir. Pour prouver que la relation ne l'est pas, un seul élément x tel que (x, x) n'appartient pas à R constitue un contre-exemple suffisant.
Quand l'utiliser
Le test suppose qu'un ensemble E et une relation binaire R sur E sont fixés. Il faut connaître, pour chaque élément x, si le couple (x, x) appartient à R. Dans une liste de couples, on cherche toute la diagonale ; dans un graphe orienté, une boucle doit partir de chaque sommet et y revenir ; dans une matrice, chaque coefficient diagonal doit valoir 1.
Les couples entre éléments distincts ne suffisent jamais à conclure. Sur E = {1, 2, 3}, la relation {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (1, 3)} n'est pas réflexive : le couple (3, 3) manque. Il faut ajouter ce couple, ou annoncer que la relation étudiée n'est pas réflexive.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'ensemble E = {1, 2, 3} et la relation R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3)}. Il faut déterminer si R est réflexive.
1. Pour l'élément 1, le couple (1, 1) appartient à R. Le premier test réussit.
2. Pour l'élément 2, le couple (2, 2) appartient à R. Le deuxième test réussit.
3. Pour l'élément 3, le couple (3, 3) appartient à R. Le troisième test réussit.
Les trois éléments possèdent donc leur couple diagonal : R est réflexive. Les couples supplémentaires (1, 2) et (1, 3) n'empêchent pas la réflexivité. Pour contrôler le résultat, on compte trois éléments dans E et exactement trois couples (x, x) dans R.
En pratique
Dans une liste de couples, le geste le plus direct consiste à relever (x, x) pour chaque élément du domaine. Si la liste est longue et l'ensemble fini, une matrice binaire rend le contrôle plus rapide : sa diagonale doit être entièrement composée de 1.
Dans un graphe orienté, on inspecte une boucle sur chaque sommet. Si un sommet n'en porte pas, mieux vaut exhiber immédiatement ce contre-exemple que poursuivre un contrôle inutile des autres flèches.
Lorsqu'on cherche une relation d'équivalence ou une relation d'ordre, la réflexivité est un premier filtre. Elle ne suffit pas : il faut ensuite vérifier les autres propriétés exigées, comme la symétrie ou l'antisymétrie et la transitivité.
À ne pas confondre
Une relation réflexive n'est pas nécessairement symétrique. Dans l'exemple, (1, 2) appartient à R mais (2, 1) n'y appartient pas : la relation reste réflexive, tout en échouant au test de symétrie.
Réflexive ne signifie pas « égale à la relation d'égalité ». L'égalité ne contient que les couples (x, x), tandis que l'exemple contient aussi (1, 2) et (1, 3). Ces couples supplémentaires sont autorisés.
Une relation irréflexive impose au contraire qu'aucun élément ne soit relié à lui-même. Sur un ensemble non vide, une relation ne peut donc être à la fois réflexive et irréflexive. Une relation qui possède seulement certaines boucles n'est ni l'une ni l'autre.
Limites et pièges
Sur l'ensemble vide, la relation vide est réflexive : il n'existe aucun élément qui puisse contredire l'énoncé « tout élément est relié à lui-même ». Cette vérité par absence de contre-exemple est dite vacante.
Une seule boucle manquante invalide la propriété globale. Dans la relation de l'exemple, retirer (3, 3) suffit ; la présence des deux autres couples diagonaux ne donne pas une relation « presque réflexive » au sens de la définition.
Une matrice de relation dépend de l'ordre choisi pour les éléments, mais le verdict ne change pas. Si le même ordre sert aux lignes et aux colonnes, les couples (x, x) restent sur la diagonale et tous les coefficients correspondants doivent valoir 1.
Changer l'ensemble de référence peut changer la question. Une relation réflexive sur E reste réflexive lorsqu'on la restreint à un sous-ensemble A en ne conservant que les couples de A × A ; en revanche, agrandir le domaine exige de vérifier les nouveaux couples diagonaux.
Pour aller plus loin
La fiche relation binaire replace la réflexivité dans le cadre des couples ordonnés et des différentes représentations d'une relation.
Une relation d'équivalence ajoute à la réflexivité la symétrie et la transitivité ; ce prolongement explique comment une relation regroupe des éléments en classes.
Une relation d'ordre combine la réflexivité avec l'antisymétrie et la transitivité afin de formaliser des comparaisons entre éléments.
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