Le groupe des fondateurs
Après des travaux de Gauss sur les formes quadratiques faisant apparaître la notion de loi de composition, c’est lors de la résolution des équations polynomiales, c’est-à-dire de la forme P(X) = 0 (avec P un polynôme) que cela a réellement commencé. Pourquoi certaines équations de ce type sont-elles résolubles par radicaux et pas d’autres ? Le but est d’exprimer les solutions de l’équation polynomiale P(X) = 0 en fonction des coefficients de P, en utilisant uniquement les quatre opérations élémentaires et l’extraction de racines. Tout comme on peut exprimer les solutions du trinôme du second degré aX2 + bX + c = 0 en fonction de a, b et c à l’aide des quatre opérations élémentaires et de la racine carrée, des méthodes ont été trouvées pour les polynômes de degrés 3 et 4 au XVIe siècle par des mathématiciens italiens. Joseph-Louis Lagrange, qui s’intéresse à cette question, cherche à comprendre pourquoi des généralisations de ces méthodes semblent faire défaut pour les degrés ultérieurs. Le Norvégien Niels Abel poursuit dans cette voie et donne la réponse pour le degré 5.
C’est cependant Évariste Galois qui donnera l’explication complète dans des travaux remarquables mais méconnus du temps de son vivant : l’équation est résoluble par radicaux si un groupe lié à l’équation possède une propriété particulière.
