Abstraite et purement algébrique, la notion de groupe ? Pas du tout! En géométrie, elle permet de ne pas se laisser submerger par la profusion et la diversité apparentes des transformations, ou encore d'appréhender les différents types de symétrie que l'on peut rencontrer.
La planète de la géométrie s’appelle espace affine. C’est un ensemble de points, en général définis à l’aide d’un repère composé d’une origine, souvent appelée O, et d’un certain nombre d’axes : deux pour un plan, trois pour l’espace classique… Cette dimension est celle de l’espace vectoriel associé à cet espace affine (voir encadré).
Dans l’espace affine A, comme dans l’espace vectoriel associé E, on peut définir des transformations. Commençons par celles de E. Une catégorie bien précise d’entre elles va être étudiée, celle des applications linéaires de E dans E, appelées endomorphismes de E, dont l’ensemble est noté L(E). Ce sont des applications f de E sur E vérifiant la propriété suivante :
Pour tous réels λ et μ, pour tous vecteurs V et W,
