El análisis vectorial
---------------------
El descabellado sueño del matemático británico William Hamilton era descubrir un conjunto de números capaz de transformar las distintas isometrías del espacio en simples sumas o multiplicaciones. Su descubrimiento de los cuaternios en 1843 lo reafirmó en esa ambición. Un cuaternión es un par formado por un escalar y un vector. Al multiplicar (0, u) por (0, v), se obtienen dos componentes: el producto escalar (salvo el signo) y el producto vectorial, desconocidos en aquella época. El físico Josiah Gibbs comprendió enseguida el interés de estas dos nociones. Para gran disgusto de Hamilton, prefirió definirlas directamente sin recurrir a los cuaternios. Más tarde advirtió que ya se encontraban en la obra de Grassmann, publicada en 1844. Otros científicos, como Olivier Heaviside, siguieron sus pasos y prosiguieron estos trabajos introduciendo conceptos relacionados con el estudio de funciones definidas en el espacio vectorial y con valores escalares o vectoriales. Así se definieron el gradiente, la divergencia y el rotacional, tan útiles, en particular en física: es lo que se denomina análisis vectorial.
-
El producto mixto
-----------------
Las bases ortonormales desempeñan un papel primordial en el espacio euclídeo de dimensión 3. El determinante de una base de este tipo respecto de otra base vale siempre 1 o –1, pues ambas bases generan el mismo volumen. Por tanto, pueden clasificarse en dos clases (dos elementos pertenecen a una misma clase si el determinante de una base respecto de la otra vale 1). Se elige una de las dos clases, cuyos elementos son bases ortonormales directas: esto es lo que se llama orientar el espacio.
