En el libro I de los Elementos, Euclides define la línea como una longitud sin anchura y la superficie como aquello que posee únicamente longitud y anchura. En el libro XI añade los sólidos, que poseen longitud, anchura y profundidad. Hoy interpretamos esto en términos de las dimensiones 1, 2 y 3. Con la geometría analítica de Descartes, cuyos primeros indicios pueden encontrarse en Apolonio y su obra sobre las Cónicas, cada punto se define mediante un número en una línea, dos en una superficie y tres en un sólido; la noción de dimensión se precisa: es el número de parámetros necesarios para definir un punto. Esta idea se diversifica después. Pero quedémonos con la dimensión de los espacios vectoriales. La idea subyacente es el número de parámetros necesarios para describir un vector.
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Volvamos a lo básico… -----------------
Consideremos un espacio de dimensión 2, como el de los pares de números reales V = (x, y). Todo vector puede descomponerse como combinación lineal de los dos vectores I = (1, 0) y J = (0, 1), puesto que V = x I + y J. Esta descomposición es, naturalmente, única, pues x e y son las componentes de V. Por ello, el conjunto {I, J} se denomina base del espacio vectorial de los pares de números reales: todo vector se descompone, de manera única, como combinación lineal de I y J. El sistema de vectores {I, J} no es la única base: ¡existen infinitas! Así, {(–π, 0), (0, 2\sqrt{2})} también serviría. Sin embargo, todas las bases tienen el mismo número de elementos, dos en este caso.
Para mostrar por qué, imaginemos que {U}, que solo posee un elemento, fuera otra base. En ese caso, tanto I como J se expresan como combinaciones lineales de U; es decir, existen a y b tales que I = a U y J = b U. De ello se deduce que b I – a J = 0 (¡compruébelo!). Como a no es nulo, puesto que I no es igual a (0, 0), podemos escribir J = (b / a) I. Así, J se expresa de dos formas distintas como combinación de los vectores de la base {I, J}: J = 0.I + 1.J y J = (b / a).I + 0.J, lo cual es contradictorio. Por tanto, {U} no puede ser una base del espacio considerado.