Aplicaciones lineales: el «núcleo duro» del álgebra… lineal

La imagen y el núcleo son dos espacios vectoriales de especial interés; son, de hecho, nociones fundamentales del álgebra lineal. Para una aplicación lineal f que asocia a cada vector $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ del espacio vectorial E₁ el vector $\overrightarrow{v}=f(\overrightarrow{u})\backslash overrightarrow\{v\}\; =\; f\; (\backslash overrightarrow\{u\})$ del espacio vectorial E₂, se define el núcleo como el subespacio vectorial de E₁ formado por los elementos $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ tales que $f(\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}f\; (\backslash overrightarrow\{u\})\; =\; \backslash overrightarrow\{0\}$. La imagen es, como indica su nombre, el subespacio vectorial de E₂ formado por los vectores $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ que se alcanzan mediante la aplicación lineal f , es decir, para los que existe un vector $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ de E₁ tal que $\overrightarrow{v}=f(\overrightarrow{u})\backslash overrightarrow\{v\}\; =\; f\; (\backslash overrightarrow\{u\})$.

¡Por naturales que sean estas definiciones, resultan terriblemente abstractas!

Por otra parte, estas nociones están presentes por doquier en álgebra lineal. Si f es un endomorfismo, su imagen, denotada Im(f ), y su núcleo, denotado Ker(f), son subespacios vectoriales (de E₂ y E₁, respectivamente). Por ejemplo, para que f sea una biyección en el caso de espacios de dimensión finita, es necesario y suficiente que Ker(f ) se reduzca al vector nulo… Pero no desgranemos las propiedades de la imagen y el núcleo: este número especial no bastaría para ello… Veamos mejor su significado en un juego.