El vínculo con los sistemas lineales
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El primer estudio de un sistema lineal —en este caso, tres ecuaciones y dos incógnitas— se debe a Leibniz en la década de 1670. En su obra Treatise of Algebra, publicada póstumamente en 1748, Colin MacLaurin aborda sistemas de hasta cuatro incógnitas; en ella aparecen cantidades próximas a los determinantes actuales. Más tarde, Gabriel Cramer define el determinante tal como lo conocemos, pero su cálculo era laborioso, pues aún no existía la notación matricial (en forma de tabla). Étienne Bézout mejora estos trabajos y demuestra en 1764 que un sistema de n ecuaciones con n incógnitas posee soluciones no nulas si y solo si su determinante no se anula. Alexandre Vandermonde y Pierre-Simon Laplace presentan en 1772 los métodos de desarrollo de los determinantes. La propia palabra determinante no aparece hasta 1801, en latín, de la mano de Carl Friedrich Gauss. Ya en 1815, Louis-Augustin Cauchy representa los determinantes en forma de tabla, pero la notación actual, entre dos barras verticales, fue idea de Arthur Cayley en 1841.
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Una fecunda interpretación geométrica
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Sin una unidad de medida, no se puede definir la longitud de un segmento. Sin embargo, sí se puede calcular la razón entre las longitudes de dos de ellos. Del mismo modo, para dos vectores colineales u y v (no nulos) de un espacio vectorial, existe un escalar λ tal que v = λu; el escalar λ es la «razón algebraica de los dos vectores» (λ < 0 si los dos vectores tienen sentidos opuestos). El determinante generaliza esta propiedad a dimensiones superiores.
