Il legame con i sistemi lineari
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Il primo studio di un sistema lineare, in questo caso di tre equazioni in due incognite, fu condotto da Leibniz negli anni 1670. Nella sua opera Treatise of Algebra, pubblicata postuma nel 1748, Colin MacLaurin trattò sistemi con al massimo quattro incognite; vi compaiono quantità vicine agli attuali determinanti. In seguito Gabriel Cramer definì il determinante come lo conosciamo oggi, ma il suo calcolo era elaborato poiché non esisteva ancora la notazione matriciale, in forma di tabella. Étienne Bézout perfezionò questi lavori e mostrò nel 1764 che un sistema di n equazioni in n incognite possiede soluzioni non nulle se e solo se il suo determinante non si annulla. Alexandre Vandermonde e Pierre-Simon Laplace presentarono nel 1772 i metodi di sviluppo dei determinanti. La stessa parola determinante comparve soltanto nel 1801, in latino, per opera di Carl Friedrich Gauss. Già nel 1815 Louis-Augustin Cauchy scrisse i determinanti in forma di tabella, ma la notazione attuale, tra due barre verticali, fu ideata da Arthur Cayley nel 1841.
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Una feconda interpretazione geometrica
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Senza un’unità di misura non si può definire la lunghezza di un segmento. Si può però calcolare il rapporto tra le lunghezze di due segmenti. Analogamente, per due vettori collineari u e v non nulli di uno spazio vettoriale, esiste uno scalare λ tale che v = λu; lo scalare λ è il «rapporto algebrico dei due vettori» (λ < 0 se i due vettori hanno verso opposto). Il determinante generalizza questa proprietà alle dimensioni superiori.
