Nel libro I degli Elementi, Euclide definisce la linea come una lunghezza senza larghezza e la superficie come ciò che possiede soltanto lunghezza e larghezza. Nel libro XI vi aggiunge i solidi, che possiedono lunghezza, larghezza e profondità. Oggi vi leggiamo le dimensioni 1, 2 e 3. Con la geometria analitica di Cartesio, di cui si trovano anticipazioni nell’opera di Apollonio sulle Coniche, ogni punto è definito da un numero su una linea, da due su una superficie e da tre in un solido; la nozione di dimensione si precisa: è il numero di parametri necessari per definire un punto. In seguito, questa idea viene sviluppata in modi diversi. Ma restiamo alla dimensione degli spazi vettoriali. L’idea di fondo è che si tratti del numero di parametri necessari per descrivere un vettore.
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Ritorno alle basi… -----------------
Consideriamo uno spazio di dimensione 2, come quello delle coppie di numeri reali V = (x, y). Ogni coppia si può esprimere in modo unico come combinazione lineare dei due vettori I = (1, 0) e J = (0, 1), poiché V = x I + y J. Questa scomposizione è naturalmente unica, poiché x e y sono le componenti di V. Per questa ragione, l’insieme {I, J} è detto una base dello spazio vettoriale delle coppie di numeri reali: ogni vettore si scompone, in modo unico, come combinazione lineare di I e J. Il sistema di vettori {I, J} non è l’unica base: ne esistono infinite! Così, {(–π, 0), (0, 2\sqrt{2})} andrebbe altrettanto bene. Tuttavia, tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi, due in questo caso.
Per capire perché, immaginiamo che {U}, che possiede un solo elemento, sia un’altra base. In tal caso, sia I sia J si esprimono come combinazioni lineari di U, cioè esistono a e b tali che I = a U e J = b U. Ne deduciamo che b I – a J = 0 (verificate!). Poiché a non è nullo, dato che I non è uguale a (0, 0), possiamo scrivere J = (b / a) I. Dunque J si esprime in due modi distinti rispetto alla base {I, J}, ossia J = 0.I + 1.J e J = (b / a).I + 0.J, il che è contraddittorio. Quindi {U} non può essere una base dello spazio considerato.