Applicazioni lineari: il «nucleo duro» dell’algebra… lineare

L’immagine e il nucleo sono due sottospazi vettoriali particolarmente importanti, anzi nozioni fondamentali dell’algebra lineare. Data un’applicazione lineare f che associa a ogni vettore $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ dello spazio vettoriale E₁ il vettore $\overrightarrow{v}=f(\overrightarrow{u})\backslash overrightarrow\{v\}\; =\; f\; (\backslash overrightarrow\{u\})$ dello spazio vettoriale E₂, si definisce il nucleo come il sottospazio vettoriale di E₁ formato dagli elementi $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ tali che $f(\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}f\; (\backslash overrightarrow\{u\})\; =\; \backslash overrightarrow\{0\}$. L’immagine è, come indica il nome, il sottospazio vettoriale di E₂ formato dai vettori $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ raggiunti dall’applicazione lineare f, ossia per i quali esiste un vettore $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ di E₁ tale che $\overrightarrow{v}=f(\overrightarrow{u})\backslash overrightarrow\{v\}\; =\; f\; (\backslash overrightarrow\{u\})$.

Per quanto naturali, queste definizioni sono terribilmente astratte!

D’altra parte, queste nozioni sono onnipresenti nell’algebra lineare. Se f è un endomorfismo, la sua immagine, indicata con Im(f), e il suo nucleo, indicato con Ker(f), sono sottospazi vettoriali (rispettivamente di E₂ e di E₁). Per esempio, affinché f sia una biiezione nel caso di spazi di dimensione finita, è necessario e sufficiente che Ker(f) si riduca al vettore nullo… Ma non mettiamoci a snocciolare le proprietà dell’immagine e del nucleo: questo numero speciale non basterebbe… Vediamo invece che cosa significano in un gioco.