L’immagine e il nucleo sono due sottospazi vettoriali particolarmente importanti, anzi nozioni fondamentali dell’algebra lineare. Data un’applicazione lineare f che associa a ogni vettore dello spazio vettoriale E1 il vettore dello spazio vettoriale E2, si definisce il nucleo come il sottospazio vettoriale di E1 formato dagli elementi tali che . L’immagine è, come indica il nome, il sottospazio vettoriale di E2 formato dai vettori raggiunti dall’applicazione lineare f, ossia per i quali esiste un vettore di E1 tale che .
Per quanto naturali, queste definizioni sono terribilmente astratte!
D’altra parte, queste nozioni sono onnipresenti nell’algebra lineare. Se f è un endomorfismo, la sua immagine, indicata con Im(f), e il suo nucleo, indicato con Ker(f), sono sottospazi vettoriali (rispettivamente di E2 e di E1). Per esempio, affinché f sia una biiezione nel caso di spazi di dimensione finita, è necessario e sufficiente che Ker(f) si riduca al vettore nullo… Ma non mettiamoci a snocciolare le proprietà dell’immagine e del nucleo: questo numero speciale non basterebbe… Vediamo invece che cosa significano in un gioco.
