Marcel Berger, grand géomètre français disparu en octobre 2016, aimait à dire : « Un espace affine, c'est un espace vectoriel dont on a oublié l'origine. » En ces termes il exprimait le fait que, dans le premier, tous les points jouent des rôles analogues, tandis que dans le second, le vecteur nul est un élément privilégié. En fait, historiquement… c'est la démarche inverse qui a prévalu !
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Décrire notre espace
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Jusqu'au début du XIXe siècle, on ne distinguait pas vraiment la réalité physique de sa formulation mathématique. Aussi, certaines propriétés étaient justifiées par l'évidence visuelle. Il n'était alors point besoin de définir une structure mathématique représentant l'espace qui nous environne, elle semblait découler de notre expérience et de notre intuition. L'introduction des coordonnées au XVIIe siècle avec René Descartes puis Pierre de Fermat avait fait comprendre que la donnée d'une origine O et de deux points A et B pour le plan (trois pour l'espace) permettent de repérer tout point M ; en termes modernes, d'exprimer les coordonnées du vecteur dans la base . Sans le dire, travailler sur les coordonnées correspondait déjà à le faire dans un espace vectoriel ; il faudra cependant deux siècles pour formaliser cette structure. En inversant le propos de Marcel Berger, on peut dire que, historiquement, un espace vectoriel est un espace affine dans lequel on a fixé un point. Mais qu'est-ce qu'un espace affine ?
Un ensemble est muni d'une structure d'espace affine, associé à un espace vectoriel réel, par la donnée d'une application Θ du produit cartésien x dans E qui vérifie les deux conditions suivantes, en notant :
