Composer des transformations géométriques

Résoudre un problème de géométrie, dans le plan ou dans l'espace de dimension 3, peut parfois s'avérer ardu. On gagne souvent à le transformer en un problème vectoriel et à faire intervenir des transformations convenablement choisies. On peut alors les composer… ou les décomposer, et faire jouer le calcul vectoriel pour conclure plus aisément.

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Dans le plan ou dans l'espace, une transformation est avant tout une bijection, c'est-à-dire qu'à tout point du plan (ou de l'espace) elle associe un et un seul point du plan (ou de l'espace). Il est des transformations géométriques que nous connaissons bien. Ce que nous connaissons un peu moins bien cependant, ce sont les transformations vectorielles associées : nous passerons d'un espace de points – que les mathématiciens appellent affine – à un espace vectoriel. On associe ainsi à chaque transformation d'un espace de points (du plan ou de l'espace) une transformation vectorielle : si f est une transformation ponctuelle qui, à tout point A, associe A' et à tout point B associe B', alors la transformation vectorielle associée $\phi \backslash varphi$ est définie par $\phi (\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}\backslash varphi\; (\backslash overrightarrow\{AB\})\; =\; \backslash overrightarrow\{A\text{'}B\text{'}\}$, dont il est aisé de montrer qu'elle est linéaire, c'est-à-dire que $\phi (a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v})=a\phi (\overrightarrow{u})+b\phi (\overrightarrow{v})\backslash varphi\; (a\; \backslash overrightarrow\{u\}\; +\; b\; \backslash overrightarrow\{v\})\; =\; a\; \backslash varphi\; (\backslash overrightarrow\{u\}\; )\; +\; b\; \backslash varphi\; (\backslash overrightarrow\{v\}\; )$ pour tout couple (a, b) de nombres réels.