Depuis Descartes, il est devenu usuel de caractériser un point du plan euclidien par ses deux coordonnées dans un repère arbitraire. Mais pour une étude analytique des propriétés du triangle, il est choquant, pour le géomètre guidé par d’efficaces principes esthétiques, de rompre la symétrie intrinsèque en choisissant un sommet pour origine ou un côté pour vecteur de base. L’expression d’un résultat se doit d’être invariante par toute permutation des sommets du triangle. Trois coordonnées doivent alors être mises en jeu, mais reliées par une relation (puisque le problème est plan, donc de dimension 2). C’est le principe des coordonnées trilinéaires et des coordonnées barycentriques, qui seront ici utilisées pour déterminer des points et courbes remarquables du triangle.
Les coordonnées triangulaires
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Pour tout point P du plan défini par les points A, B et C non alignés, les trois vecteurs et sont dépendants, donc liés par une relation de la forme
Alors le point P est dit barycentre des points (A, B, C), respectivement affectés des coefficients (α, β, γ). Pour indiquer que le barycentre est invariant en remplaçant (α, β, γ) par des valeurs proportionnelles ( μα, μβ, μγ), on notera indifféremment P ( μα : μβ : μγ) ou P (α : β : γ).
Ceci justifie la dénomination de coordonnées homogènes par Möbius en 1827. En effet, on appelle fonction homogène de degré p une fonction f de n variables telle que
f ( λ x1, λ x2… λ *xn ) = λ p f ( x*1, x2… xn ) pour tout réel λ, et les coordonnées barycentriques sont homogènes de degré 0 puisque ( λα : λβ : λγ) = λ0(α : β : γ).
