Le coordinate polari sono un altro modo per rappresentare i punti di un piano euclideo dotato di un sistema di riferimento ortonormale (vedi il riquadro nell’articolo «Equazioni per le curve»). Si passa facilmente dalla coppia ( ρ, θ ) delle coordinate polari di un punto M alle sue coordinate cartesiane mediante le relazioni x = ρ cos θ e y = ρ sin θ.
L’aspetto interessante è che una curva del piano può allora essere definita da un’equazione polare, una relazione tra ρ e θ. Un cerchio di centro O e raggio R o una retta passante per O che forma un angolo α con hanno un’equazione semplice (rispettivamente ρ = R o θ = α ). Nel caso generale, invece, una retta o un cerchio sono rappresentati da equazioni più sofisticate.
Così, ρ = h / cos (θ – θ0 ) è l’equazione polare della retta che forma con l’angolo θ0 + π/2 e dista h dall’origine (vedi figura). Da qui si deduce l’equazione polare di un cerchio passante per l’origine, osservando che l’immagine di una retta non passante per O nell’inversione* di polo O è un cerchio passante per O.
Così, un cerchio di raggio R passante per O, il cui centro C si trova sulla retta (OH), ha per equazione polare ρ = 2R cos (θ – θ0 ).
\ Un’inversione di polo P e potenza k trasforma un punto M in un punto M’ situato sulla retta (PM) tale che il prodotto delle misure algebriche e sia uguale a k*.
Cerchi e rosoni
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Elementi di spicco delle cattedrali, componenti altamente decorativi usati in architettura, i rosoni sono in origine curve che evocano la forma di una rosa con i suoi petali, inscritte in un cerchio e tracciabili con riga e compasso. I primi progetti del grande rosone della cattedrale di Strasburgo (Basso Reno), per esempio, furono realizzati da Erwin von Steinbach nel 1320. Prodezza tecnica dell’arte gotica, il rosone si realizza suddividendo un cerchio in trentadue «petali», quindi tracciando archi ogivali e cerchi concentrici ricavati da tale suddivisione.
Esistono rosoni più elaborati, definiti dalla loro equazione polare ρ = a cos (nθ ), che sono, in un certo senso, sinusoidi in coordinate polari e furono studiati dal matematico italiano Guido Grandi tra il 1723 e il 1728. Hanno, per n dispari, n petali e, per n pari, 2n petali.
Rosone a venti petali di equazione polare ρ = cos(10 θ ).
Le spirali
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Altra curva armoniosa, la spirale è stata anch’essa ampiamente utilizzata in architettura, sia per decorare capitelli di colonne sia cancelli in ferro battuto.
Le forme di spirale più comuni nell’arte sono quelle che si possono tracciare con il solo compasso, a più centri, costituite da cerchi raccordati tangenzialmente, e la spirale di Archimede, di equazione polare ρ = a θ.
Spirali decorative nella Maison Carrée di Nîmes (Gard).
Motivo a spirale in ferro battuto.
Spirale di Archimede di equazione polare ρ = θ /π.
