Las curvas elípticas

Cúbicas lisas -------------------

El género de una curva polinómica de grado n es un concepto topológico: si no posee puntos singulares, es igual a ${\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}},\backslash dfrac\{(n-1)(n-2)\}\{2\},$ (en ese caso se dice que es lisa). Por cada punto doble, el género disminuye en una unidad. Una cúbica, es decir, una curva algebraica de grado 3, es elíptica si es lisa.

Las cónicas, de género nulo, se denominan racionales porque pueden parametrizarse mediante cocientes de polinomios, como la circunferencia unidad: $x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}},x\; =\; \backslash dfrac\{2t\}\{1+t^2\},$ $y={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}\mathrm{.}y\; =\; \backslash dfrac\{1-t^2\}\{1+t^2\}.$

Toda curva racional es unicursal (de un solo trazo, teniendo en cuenta los puntos en el infinito), pero la recíproca no es cierta. La curva elíptica de género 1 y ecuación y ² = x ³ − x + 1 (representada más abajo) es unicursal, pero no racional. En cambio, puede parametrizarse mediante funciones elípticas (nacidas históricamente de la rectificación de la elipse).