Il metodo sintetico di Newton

Le osservazioni sintetiche note all’epoca di Newton erano essenzialmente le tre leggi di Keplero, ottenute empiricamente all’inizio del 17^º secolo ma verificate con grande precisione sui pianeti. La prima legge afferma che la traiettoria dei pianeti è un’ellisse con il Sole in uno dei fuochi. La seconda sostiene che l’area del parallelogramma generato dai vettori posizione e velocità, per dirlo in linguaggio moderno, è costante. Infine, la terza legge stabilisce che il quadrato del periodo è proporzionale al cubo dell’asse maggiore dell’ellisse.

Per cercare di renderne conto, Isaac Newton (1642–1727) propose due assiomi intrecciati, che posero le basi di un metodo matematico per risolvere i problemi fisici:

1) Un corpo isolato si muove di moto rettilineo uniforme: la sua velocità non varia nel tempo e quindi, a parte questa velocità costante, il suo moto «è come nulla»; era un’osservazione di Galileo, contemporaneo di Keplero…

2) Per contrapposizione, se la velocità di un corpo varia nel tempo, esso è sottoposto all’influenza di un’azione di cui tale variazione è la caratteristica: una forza. È una sorta di definizione della nozione di forza e la celebre equazione di Newton collega, nei casi «semplici», la somma $\overrightarrow{\text{F}}\backslash overrightarrow\{\backslash text\; F\}$ delle forze applicate a un corpo di massa m alla variazione temporale della sua velocità $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\{v\}$. Si scrive:

Sperimentalmente, era necessario introdurre questa massa m. Applicando la stessa forza, essa permette di ottenere effetti diversi sulla velocità; si pensi all’azione della medesima forza su una zanzara e su un treno pendolare…

-

La geometria degli antichi ------------------------

Oltre a dotare la fisica di uno strumento d’indagine, la definizione di Newton permette di porsi domande osservando la natura e talvolta persino di rispondervi. Fu dunque osservando o immaginando la caduta di vari corpi che lo scienziato britannico postulò la gravitazione. Il ragionamento è elementare. Una mela attaccata al suo melo è immobile. All’improvviso cade. Prima di staccarsi dall’albero, la sua velocità era nulla. Poi la si vede accelerare, fino a fermarsi bruscamente toccando il suolo. In questa avventura la velocità della mela è variata; la mela è quindi sottoposta a una forza. Alla superficie della Terra, l’effetto di questa forza è far percorrere a una mela cinque metri in un secondo; verificate voi stessi!

Per la Luna, in realtà, è più o meno la stessa cosa. Immaginate che la velocità della Luna non vari, almeno in direzione: come potrebbe restare in orbita attorno alla Terra?

Se la Luna procedesse in linea retta, senza subire alcuna forza, in un secondo si troverebbe nel punto P dello schema, che ovviamente non è in scala. In realtà, per effetto della forza esercitata dalla Terra, si trova nel punto Q. L’altezza di caduta è dunque la distanza PQ. Fin dall’antichità si sa che l’orbita della Luna è «quasi circolare» e uniforme; la velocità della Luna in M è quindi tangente alla circonferenza orbitale e perciò perpendicolare al segmento [OM]. Il vettore $\overrightarrow{MP}\backslash overrightarrow\{MP\}$, contenuto nella retta generata da questa velocità, è dunque perpendicolare al vettore $\overrightarrow{OM}\backslash overrightarrow\{OM\}$. Il triangolo OMP è quindi rettangolo in M.

Inoltre, la Luna torna pressappoco nello stesso punto del cielo ogni ventotto giorni e già nell’antichità, grazie ad Aristarco di Samo, si era stabilito mediante misure di parallasse che essa dista dalla Terra sessanta raggi terrestri. Anche il raggio terrestre era stato determinato dai Greci, grazie a Eratostene di Cirene: vale R _T = 6 400 km. Possiamo dunque calcolare il modulo della velocità della Luna: il nostro satellite percorre in ventotto giorni una circonferenza di cui si può determinare la lunghezza; si ottiene:

v = 2π × 60 × 6 400 / (28 × 24 × 3 600) = 1 km / s,

un chilometro al secondo. Questo meraviglioso risultato numerico fornisce il modulo del vettore $\overrightarrow{MP}\backslash overrightarrow\{MP\}$, che misura dunque 1 km.

Nel triangolo rettangolo OMP conosciamo quindi le lunghezze MP e OM. Il teorema di Pitagora dà allora (OQ + QP)² = OM² + MP². Sapendo che, sull’orbita circolare, OQ = OM, possiamo risolvere un’equazione di secondo grado e trovare QP = 1,3 mm. Ogni secondo, la Luna cade di poco più di un millimetro per restare in orbita circolare attorno alla Terra…

-

Verso una legge universale -------------------------

La questione assume un’altra portata quando Newton propone che la forza che fa cadere la mela sia la stessa che fa cadere la Luna e che dipenda soltanto dalla distanza dal centro della Terra: le mele del Lincolnshire, come quelle australiane e come la Luna, si muovono verso il centro della Terra… Questa forza sarebbe dunque universale, ma come dipende dalla distanza dal centro della Terra? Per scoprirlo, basta confrontarne gli effetti: la mela, situata a un raggio terrestre dal centro della Terra, cade di cinque metri in un secondo. La Luna, sessanta volte più lontana, cade soltanto di 1,3 mm, ossia 5 / 60 ².

Basta questo perché Newton proponga che la forza di gravitazione universale dipenda dall’inverso del quadrato della distanza. Il resto è una questione di unità: l’espressione di questa forza deve dipendere dalle due masse e, se una delle due è nulla, anche la forza deve essere nulla. Senza massa, per Newton non c’è gravitazione… Intuitivamente, la soluzione più semplice è introdurre il prodotto delle due masse al numeratore del modulo di questa forza.

Occorre poi adeguare questo modulo agli effetti osservati e fare in modo che le unità della formula ottenuta siano quelle di una forza, cioè di una massa moltiplicata per un’accelerazione. Newton è così portato a introdurre quella che in fisica si chiama una costante fondamentale, che permette di risolvere questo genere di problema.

Fissa G = 6,67·10 ^–11 m³ kg^–1 s².

Ottiene dunque

oppure

Questa formula fornisce l’espressione della forza di gravitazione ${\overrightarrow{F}}_{\text{M}\to m}\backslash overrightarrow\{F\}\; \_\{\backslash text\{M\}\; \backslash rightarrow\; m\}$ con cui il corpo di massa M attrae quello di massa m, dove le due masse sono supposte puntiformi e separate da una distanza r.

Il vettore $\overrightarrow{e_r}\backslash overrightarrow\{e\_r\}$ ha modulo 1 ed è diretto da M verso m, il che spiega il segno, poiché ${\overrightarrow{F}}_{\text{M}\to m}\backslash overrightarrow\{F\}\; \_\{\backslash text\{M\}\; \backslash rightarrow\; m\}$ attrae m verso M: serve a definire con precisione direzione e verso della forza. La costante di gravitazione G serve a «rimettere le cose a posto».

I puristi avranno notato che, con Newton, abbiamo supposto che le due masse fossero puntiformi e che l’azione reciproca di m su M non facesse variare la velocità di M. In altre parole, M è «molto maggiore» di m, come avviene effettivamente per il Sole rispetto ai pianeti…

-

L’introduzione delle flussioni ---------------------------

Il fatto che ${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}\backslash dfrac\{d\; \backslash ,\{\backslash overrightarrow\{v\}\; \}\}\{dt\}$ sia costantemente diretto secondo $\overrightarrow{e_r}\backslash overrightarrow\{e\_r\}$ permette anche di mostrare che il vettore ortogonale a $\overrightarrow{r}\backslash overrightarrow\{r\}$ e $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\{v\}$, il cui modulo è uguale all’area del parallelogramma formato da questi due vettori, è costante. Questo vettore $\overrightarrow{\mathrm{\Lambda }}\backslash overrightarrow\{\backslash Lambda\}$ non varia nel tempo, mentre $\overrightarrow{r}\backslash overrightarrow\{r\}$ e $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\{v\}$ variano. È la seconda legge di Keplero.

La difficoltà del problema posto da Newton risiede in parte nel fatto che il vettore unitario $\overrightarrow{e_r}\backslash overrightarrow\{e\_r\}$, direttore dell’asse (Mm), varia nel tempo. Infatti, se M può essere supposto fisso, non è così per m, che subisce l’influenza gravitazionale del corpo pesante: la distanza r è una funzione del tempo; il vettore $\overrightarrow{e_r}\backslash overrightarrow\{e\_r\}$ non cambia modulo, perché resta unitario, ma cambia direzione seguendo la massa m nel suo moto.

Per affrontare il problema del moto della Terra attorno al Sole, Newton comincia con un po’ di calcolo differenziale, o teoria delle flussioni, come la chiamava. Scegliamo un sistema di riferimento fisso $(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y})(\; \backslash overrightarrow\{e\_x\},\; \backslash overrightarrow\{e\_y\})$ nel quale sia possibile scomporre semplicemente il vettore unitario $\overrightarrow{e_r}\backslash overrightarrow\{e\_r\}$: è un riferimento cartesiano per i matematici, o galileiano per i fisici. Lo scegliamo ortonormale. Tracciamo uno schema nel piano che contiene il moto.

Si ha $\overrightarrow{e_r}=\cos (\theta )\overrightarrow{e_x}+\sin (\theta )\overrightarrow{e_y}\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{e\_r\}=\backslash cos(\backslash theta)\backslash overrightarrow\{e\_x\}+\backslash sin(\backslash theta)\backslash overrightarrow\{e\_y\}.$ La variabilità nel tempo di $\overrightarrow{e_r}\backslash overrightarrow\{e\_r\}$ viene così trasferita a quella di θ = θ (t), mentre i vettori unitari $\overrightarrow{e_x}\backslash overrightarrow\{e\_x\}$ e $\overrightarrow{e_y}\backslash overrightarrow\{e\_y\}$ sono ormai fissi.

Facciamo variare $\overrightarrow{e_r}\backslash overrightarrow\{e\_r\}$ rispetto al tempo:

Anche il vettore $\overrightarrow{e_{\theta }}=-\sin (\theta )\overrightarrow{e_x}+\cos (\theta )\overrightarrow{e_y}\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}=-\backslash sin(\backslash theta)\backslash overrightarrow\{e\_x\}+\backslash cos(\backslash theta)\backslash overrightarrow\{e\_y\}$ è dunque unitario; corrisponde a $\overrightarrow{e_r}\backslash overrightarrow\{e\_r\}$ «ruotato» di π/2 radianti: $\overrightarrow{e_{\theta }}=\overrightarrow{e_r}(\theta +\frac{\pi }{2})\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}=\backslash overrightarrow\{e\_r\}\backslash left\; (\; \backslash theta+\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right\; ).$

Il riferimento $(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta }})(\backslash overrightarrow\{e\_r\},\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\})$ è dunque ortonormale; lo chiamiamo riferimento polare locale, ed è «locale» perché va ricostruito a ogni istante. Derivando $\overrightarrow{e_{\theta }}\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}$ rispetto al tempo, si compie un’ulteriore rotazione:

$\frac{d\overrightarrow{e_{\theta }}}{dt}=-\frac{d\theta }{dt}\overrightarrow{e_r}\backslash frac\{d\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}\}\{dt\}=-\backslash frac\{d\backslash theta\}\{dt\}\backslash overrightarrow\{e\_r\}$, ossia $\overrightarrow{e_r}=-\frac{1}{\frac{d\theta }{dt}}\frac{d\overrightarrow{e_{\theta }}}{dt}\backslash overrightarrow\{e\_r\}=-\backslash frac\{1\}\{\backslash frac\{d\backslash theta\}\{dt\}\}\backslash frac\{d\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}\}\{dt\}$.

Sostituendo nel principio fondamentale della dinamica, si ottiene:

Scrivendo $\overrightarrow{r}\backslash overrightarrow\{r\}$ e $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\{v\}$ in questa base polare locale, un semplice calcolo mostra che l’area Λ del parallelogramma da essi formato in ogni istante è Λ = r ² dθ / dt. Il vettore $\overrightarrow{u}=\frac{GM}{\mathrm{\Lambda }}\overrightarrow{e_{\theta }}\backslash overrightarrow\{u\}=\; \backslash frac\{GM\}\{\backslash Lambda\}\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}$ ha quindi modulo costante.

Infine, grazie a tutti questi prodigi, il principio fondamentale della dinamica per questo problema si riduce a

$\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{GM}{\mathrm{\Lambda }}\overrightarrow{e_{\theta }})\backslash frac\{d\backslash overrightarrow\{v\}\}\{dt\}=\; \backslash frac\{d\}\{dt\}(\backslash frac\{GM\}\{\backslash Lambda\}\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\})$, ossia $\frac{d}{dt}(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}\mathrm{.}\backslash frac\{d\}\{dt\}(\backslash overrightarrow\{v\}-\backslash overrightarrow\{u\})=\backslash overrightarrow\{0\}.$

Il vettore di Hamilton $\overrightarrow{h}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}\backslash overrightarrow\{h\}=\backslash overrightarrow\{v\}-\backslash overrightarrow\{u\}$ è dunque costante! Ed è nel piano del moto.

-

Caratterizzazione dell’orbita ---------------------------

Per caratterizzare l’orbita di m attorno a M, Newton usava soltanto figure. Seguiamo il suo ragionamento servendoci di uno strumento più moderno: il prodotto scalare (vedi Vecteurs et Espaces vectoriels, Bibliothèque Tangente 65, 2018).

Il prodotto scalare dei vettori $\overrightarrow{u}\backslash overrightarrow\{u\}$ e $\overrightarrow{h}\backslash overrightarrow\{h\}$ è definito da $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{h}=uh\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{h})}\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{u\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{h\}=u\backslash ,h\backslash cos\; \backslash widehat\{\backslash Big\; (\; \backslash overrightarrow\{u\}\; ,\backslash overrightarrow\{h\}\backslash Big\; )\}.$

Sostituendo $\overrightarrow{h}\backslash overrightarrow\{h\}$ con il suo valore, si ottiene

Ora, il vettore $\overrightarrow{u}\backslash overrightarrow\{u\}$ ha la direzione di $\overrightarrow{e_{\theta }}\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}.$ Così,

$\begin{align} \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})} &= \widehat{(\overrightarrow{e_\theta},\overrightarrow{v})}= \widehat{(\overrightarrow{e_\theta},\overrightarrow{r})} +\widehat{(\overrightarrow{r},\overrightarrow{v})} \cr &=-\frac{\pi}{2}+\widehat{(\overrightarrow{r},\overrightarrow{v})},\cr \end{align}$

da cui $\cos (\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=\sin (\widehat{\overrightarrow{r},\overrightarrow{v}})=\frac{\mathrm{\Lambda }}{rv},\backslash cos(\backslash widehat\{\backslash overrightarrow\{u\},\backslash overrightarrow\{v\}\})=\; \backslash sin(\backslash widehat\{\backslash overrightarrow\{r\},\backslash overrightarrow\{v\}\})=\; \backslash frac\{\backslash Lambda\}\{rv\},$

e infine $\overrightarrow{u},\overrightarrow{h}=u\frac{\mathrm{\Lambda }}{r}-u^2\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{u\},\backslash overrightarrow\{h\}=\; u\backslash ,\backslash frac\{\backslash Lambda\}\{r\}\backslash ,-u^2.$

Se ne deduce l’uguaglianza $\frac{\mathrm{\Lambda }}{r}-u=h\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{h})}\backslash frac\{\backslash Lambda\}\{r\}\backslash ,-u=h\backslash cos\backslash widehat\{(\backslash overrightarrow\{u\},\backslash overrightarrow\{h\})\}$.

Usando $u=\frac{GM}{\mathrm{\Lambda }}u=\backslash frac\{GM\}\{\backslash Lambda\}$ e scegliendo l’origine degli angoli in modo che $\theta =\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{h})}\backslash theta=\backslash widehat\{(\backslash overrightarrow\{u\},\backslash overrightarrow\{h\})\}$, si ottiene la relazione fondamentale: $\frac{p}{r}=1+e\cos \theta \backslash frac\{p\}\{r\}=1+e\backslash cos\backslash theta$ con $e=\frac{h\mathrm{\Lambda }}{GM}e=\backslash frac\{h\backslash Lambda\}\{GM\}$ e $p=\frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{GM}p=\backslash frac\{\backslash Lambda^2\}\{GM\}$.

Finalmente ci siamo! Questa relazione tra r e θ definisce una conica di parametro focale p ed eccentricità e (vedi L’Unificazione delle coniche, Tangente 162, 2015 e Propos elliptiques, Tangente 163, 2015). Newton risolse il problema posto senza risolvere alcuna equazione differenziale e facendo praticamente solo geometria! Le ellissi di Keplero trovarono così una spiegazione attraverso una deduzione logica basata sull’assioma di definizione della forza, applicato al caso della gravitazione.

-

Con riga e compasso… ------------------------

Gli appassionati di geometria vorranno poter tracciare punto per punto, con riga e compasso, la traiettoria ottenuta conoscendo la posizione e la velocità a un istante t. Occorre quindi costruire il luogo delle velocità…

In ogni istante, il vettore velocità si scrive $\overrightarrow{v}(t)=\overrightarrow{h}+u\overrightarrow{e_{\theta }}(t)\backslash overrightarrow\{v\}(t)=\backslash overrightarrow\{h\}+u\backslash ,\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}(t)$. Indicando con ? *_x e ? _y le coordinate cartesiane del vettore costante $\overrightarrow{h}\backslash overrightarrow\{h\}$ e usando l’espressione di $\overrightarrow{e_{\theta }}(t)\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}(t)$ in ogni istante t*, si ottiene:

Il luogo H dei vettori velocità parametrizzati dal tempo (o odografa) è dunque contenuto in un cerchio di raggio u, il cui centro è individuato dal vettore $\overrightarrow{h}\backslash overrightarrow\{h\}$. L’odografa H coincide con l’intero cerchio se θ (t) percorre tutto l’intervallo [0, 2π], altrimenti solo con un arco di quel cerchio. Nel caso delle orbite periodiche dei pianeti attorno al Sole, l’odografa è ovviamente il cerchio completo…

Possiamo persino precisare tutto questo in funzione dell’eccentricità e della conica ottenuta. Si possono inoltre sempre scegliere unità fisiche tali che $u=\frac{GM}{\mathrm{\Lambda }}=1u=\backslash frac\{GM\}\{\backslash Lambda\}=1$ e quindi $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{e_{\theta }}\backslash overrightarrow\{u\}=\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}$.

L’odografa può essere costruita soltanto con riga e compasso. Nello schema qui accanto, l’origine delle velocità è il punto M, origine del sistema di riferimento cartesiano; $\overrightarrow{v}(t)\backslash overrightarrow\{v\}(t)$ rappresenta la velocità, supposta nota, del punto m all’istante t.

Cominciamo misurando Λ, l’area del parallelogramma formato dalla posizione e dalla velocità all’istante t. Proiettiamo ortogonalmente in B il vettore posizione $\overrightarrow{r}(t)\backslash overrightarrow\{r\}(t)$ sulla retta $D_{\overrightarrow{v}(t)}D\_\{\backslash overrightarrow\{v\}(t)\}$ generata dal vettore velocità.

Per ogni nuovo punto della traiettoria, corrispondente a un istante t’, si procederà in tre fasi. Supponiamo che l’odografa H coincida con l’intero cerchio (orbita periodica). Scegliendo un altro punto su H, si costruisce un nuovo vettore velocità $\overrightarrow{v}(t^{\mathrm{\prime }})\backslash overrightarrow\{v\}(t\text{'})$. Il vettore di Hamilton, costante, permette allora di costruire $\overrightarrow{e_{\theta }}(t^{\mathrm{\prime }})=\overrightarrow{v}(t^{\mathrm{\prime }})-\overrightarrow{h}\backslash overrightarrow\{e\_\backslash theta\}(t\text{'})=\backslash overrightarrow\{v\}(t\text{'})-\backslash overrightarrow\{h\}$. Ruotando questo vettore di –π/2, si ottiene il vettore unitario $\overrightarrow{e_r}(t^{\mathrm{\prime }})\backslash overrightarrow\{e\_r\}(t\text{'})$, che dà la direzione della retta $D_{\overrightarrow{r}(t^{\mathrm{\prime }})}D\_\{\backslash overrightarrow\{r\}(t\text{'})\}$.

La retta $D_{\overrightarrow{r}(t^{\mathrm{\prime }})}D\_\{\backslash overrightarrow\{r\}(t\text{'})\}$ contiene la massa m all’istante t’; come determinarne la posizione? Basta sfruttare il fatto che l’area Λ del parallelogramma formato dalla posizione e dalla velocità non è cambiata! Spostando m(t’) sulla retta $D_{\overrightarrow{r}(t^{\mathrm{\prime }})}D\_\{\backslash overrightarrow\{r\}(t\text{'})\}$, varia anch’essa la sua proiezione ortogonale B su $D_{\overrightarrow{v}(t)}D\_\{\backslash overrightarrow\{v\}(t)\}$.

Infine, non appena $\mathrm{B}m(t^{\mathrm{\prime }})=\mathrm{\Lambda }\mathrm{/}\parallel \overrightarrow{v}(t)\parallel \backslash mathrm\{B\}m(t\text{'})=\backslash Lambda/\backslash left\; \backslash |\; \backslash overrightarrow\{v\}(t)\; \backslash right\; \backslash |$, si ottiene il vettore $\overrightarrow{r}(t^{\mathrm{\prime }})\backslash overrightarrow\{r\}(t\text{'})$.

Si ripete questo algoritmo geometrico per ogni altra velocità. Così, poiché tutte queste costruzioni sono realizzabili con riga e compasso, si può tracciare l’orbita punto per punto!