El libro Recherches sur les courbes à double courbure aborda un tema innovador. Desde el 17.º siglo, los geómetras de toda Europa habían estudiado numerosas curvas planas aplicando las ideas de Descartes sobre el uso de las coordenadas y, después, los revolucionarios métodos del cálculo diferencial e integral de Newton y Leibniz. Habían tenido pocas ocasiones de considerar las curvas espaciales; cabe señalar, no obstante, una comunicación de Henri Pitot (1695-1771) ante la Academia de Ciencias. En una memoria de 1724, este ingeniero hidráulico estudia una especie de hélice y concluye escribiendo: « Quizá estas clases de curvas de doble curvatura, o trazadas sobre la superficie de los sólidos, sean algún día objeto de las investigaciones de los geómetras. » Un reto que Alexis Clairaut se apresura a aceptar.
Un primer libro innovador
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En su prefacio explica cómo va a proceder: una curva espacial puede estudiarse considerando sus proyecciones sobre los planos de un ángulo sólido —hoy diríamos los tres planos de un triedro—. Bastan dos de esas proyecciones y la curva espacial participa « por así decirlo, siempre de la curvatura de estas dos curvas »; eso es lo que justifica la expresión «curvas de doble curvatura».
La obra sigue siendo hoy agradable de leer: para ello hay que hacerse con papel, lápiz y un programa de geometría dinámica. Clairaut ofrece, en efecto, muchísimos ejemplos. En una primera parte estudia ejemplos de curvas de doble curvatura dadas por dos proyecciones sobre los planos coordenados, y deja claro que la curva es entonces la intersección de los dos cilindros construidos a partir de esas proyecciones. En sus ejemplos, las proyecciones suelen ser cónicas. Resulta interesante imaginar por nosotros mismos el aspecto de la curva a partir de sus proyecciones… Veamos, por ejemplo, las figuras siguientes.
