Il libro Recherches sur les courbes à double courbure tratta un argomento innovativo. Dal XVIIº secolo, i geometri di tutta Europa avevano studiato numerose curve piane applicando le idee di Cartesio sull’uso delle coordinate, poi i metodi rivoluzionari del calcolo differenziale e integrale di Newton e Leibniz. Ebbero invece poche occasioni di considerare le curve nello spazio; si segnala tuttavia una comunicazione all’Accademia delle scienze di Henri Pitot (1695-1771). In una memoria del 1724, questo ingegnere idraulico studiò una sorta di elica e concluse scrivendo: «Forse queste specie di curve a doppia curvatura, o tracciate sulla superficie dei solidi, saranno un giorno oggetto delle ricerche dei geometri.» Una sfida che Alexis Clairaut si affrettò a raccogliere.
Un primo libro innovativo
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Nella prefazione spiega il metodo che seguirà: una curva nello spazio può essere studiata considerando le sue proiezioni sui piani di un angolo solido — oggi diremmo i tre piani di un triedro. Ne bastano due e la curva spaziale partecipa «per così dire sempre della curvatura di queste due curve»; è questo che giustifica l’espressione «curve a doppia curvatura».
L’opera è ancora oggi piacevole da leggere: per farlo bisogna munirsi di carta, una matita e un software di geometria dinamica. Clairaut propone infatti moltissimi esempi. In una prima parte studia curve a doppia curvatura date da due proiezioni sui piani coordinati, mostrando che la curva è allora l’intersezione dei due cilindri costruiti a partire da tali proiezioni. Nei suoi esempi, le proiezioni sono spesso coniche. È interessante immaginare da soli l’aspetto della curva a partire dalle sue proiezioni… Guardiamo, per esempio, le figure seguenti.
